Matem-shpor

№26. Алғашқы функция ж\е анықталмаған интеграл.Анықталмаған интегралдың қасиеттері.

f(x) және F(x) функциялары ақырлы немесе ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын.Х аралығында дифференциалданатын функциясы теңдігін қанағаттандырса, функциясы f(х) функциясының алғашқы функциясы деп аталады. Егер Х аралығында және Ф(х) функциялары f(х) функ-ның алғашқы функциясы болса, онда қандай да бір С саны табылып, мына теңдік орындалады: Ф(х)= F(x)+C .Бұл теоремадан егер функциясы f(х) функ-ның алғашқы функциясы болса, онда F(x)+C өрнегі f(х) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын береді. f(х) функциясының алғашқы функ-ның жиыны f(х) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және деп белгіленеді, мұндағы - интеграл белгісі; f(х) – интеграл астындағы функция; f(х)dx - интеграл астындағы өрнек. Сонымен= F(x)+C , мұндағы F(x) – алғашқы функция, C –ерікті тұрақты

Қасиеттер: 1. . 2. . 3. = F(x)+C. 4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x)+g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және .

5. . 6. Егер = F(x)+C болса, онда = F(ax+b)+C. 7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының наткрал логарифміне тең, яғни , мұндағы u=u(x).

№27. Айнымалыны алмастыру ж\е бөліктеп интегралдау. Айнымалыны алмастыру әдісі. I= интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және .Бұл әдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интегралды бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген: d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ, , осыдан .Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысал: +С=+C.№28. Қарапайым рационал өрнектерді интегралдау. түріндегі өрнекті n–дәрежелі көпмүшелік деп атайды. Мұндағы - нақты сандар (, n>0). Көпмүшеліктердің қатынасы түрінде берілген өрнек рационал өрнек болады. Мысалы , бөлшектер рационал өрнектер. Егер бөлшектің алымындағы көпмүшеліктің дәрежесі бөліміндегі көпмүшелік дәрежесінен кем болса, бөлшек дұрыс деп, ал кем болмаса бөлшек бұрыс деп аталады. Мысалдағы біріншісі бөлшек - дұрыс, ал екіншісі – бұрыс бөлшек. Кез келген бұрыс бөлшекті алымын бөлімге бөлу арқылы дұрыс бөлшекке келтіріп алуға болады. Егер дұрыс рационал бөлшек бөлімі және түріндегі көбейткіштерге жіктелген болса, онда бөлшектімынадай қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеуге болады: , мұндағы, Р(х) – белгілі көпмүшелік, - белгісіз коэффициенттер. Ол коэффициенттерді табу үшін белгісіз коэффициенттер әдісін пайдаланамыз: теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз; екі бөлшектің бөлімдері тең болатындықтан, алымдарын теңестіреміз; теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз; осы жүйені шешіп белгісіз коэффициенттерді табамыз. Мысалы бөлшегін қарапайым бөлшектер қосындысына жіктейік.

Бөлшек дұрыс, сондықтан бөлшекті жіктейміз,Белгісіз коэффициенттерді табу үшін теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп жазайық:Бөлімдері бірдей, алымдарын теңестіреміз (оң жақтағы бөлшек алымын ықшамдап, х-тің дәрежесі түрінде жазайық: Теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз:

Төрт белгісізді, төрт теңдеуден тұрған жүйені шешіп, белгісіз коэффициенттерді табамыз:.Табылған мәндерді теңдіктегі орнына қойып, бөлшектің қарапайым жіктелуін аламыз:.Енді осы рационал бөлшекті интегралдайық.Әр интегралды жеке қарастырайық. 1) , мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы болғандықтан 7-қасиетті пайдаландық.2)+С=+C=+C; 3) +4+С=++C, мұнда бірінші қосылғышты алымы бөлімінің туындысы болғандай етіп түрлендірдік те 7-қасиетті пайдаландық. Ал екінші қосылғышта бөлімінің толық квадратын бөліп алып, интегралдар кестесіндегі 14-формуланы пайдаландық.Соныменln|x+1|-++C.

№29. Анықталған интеграл ж\е оның касиеттері. y=f(x) функциясының интегралдық қосындысының жағдайдағы шегі функцияның [a;b] аралығындағы анықталған интегралы деп аталады және деп белгіленеді. Сонымен, мұндағы а және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері деп аталады. Анықталған интеграл қасиеттері: 1.Тұрақтыны шек таңбасы алдына шығаруға болады: . 2.Екі функцияның алгебралық қосындысының интегралы сол функциялар интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады: . 3.Интеграл шектерінің орындарын ауыстырғанда интеграл таңбасы қарама-қарсыға өзгереді:.4. Интеграл шектері бірдей болғанда интеграл мәні нолге тең:. 5. Егер болса, онда m(b-a)< <M(b-a). 6.Егер с нүктесі [a;b] кесіндісінде жатқан нүкте болса, онда . 7. Орта мән туралы теорема. y=f(x) функциясы [a;b] кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда қандай да бір с[a;b] нүкте табылады да мына теңдік орындалады: (b-a)f(c). 8.Егер y=f(x) функциясы жұп болса, онда

2. 9.Егер y=f(x) функциясы тақ болса, онда 0. 10. Ньютон-Лейбниц формуласы. F(b) – F(a), мұндағы . 11.Анықталған интегралдағы бөліктеп интегралдау: . 12.Анықталған интегралдағы айнымалыны алмастыру: .

№30. Анықталған интегралдың геометриялық, экономикалық қолданысы. Белгіленуі мен айтылуында ұқсастық болғанымен анықталған және анықталмаған интеграл екеуі түрлі ұғымды береді: - функциялар жиыны болса; - нақтылы сан болады. Егер [a;b] кесіндіде f(x)>0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасынан оның геометриялық мағнасы шығады: - үстіңгі жағынан y=f(x) қисығымен, бүйір жақтарынан x=a, x=b түзулерімен, астыңғы жағынан y=0 түзуімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы.

№31.Дифференциалдық теңдеулер. Дифференциалдық теңдеу есептері. Дифференциалды теңдеу деп х тәуелсіз айнымалы, у(х) ізделінді функция және оның түрлі ретті туындыларын өз ара байланыстыратын теңдеуді айтамыз. Дифференциалды теңдеу ретi деп теңдеудегі туындының жоғары ретін айтамыз. Мысалы, xy'+y=0, - бірінші ретті дифференциалды теңдеулер; - екінші ретті дифференциалды теңдеу; - үшінші ретті дифференциалды теңдеу. Бірінші ретті дифференциалды теңдеу: . Егер осы теңдеу функция туындысына қатысты шешіліп тұрса, деп жазылады. Дифференциалды теңдеудегі орнына қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын, дифференциалданатын y=q(x,С) функциясын теңдеудің жалпы шешімі деп айтамыз. Дифференциалды теңдеудің жалпы шешімінен қандай да бір нақты С=С₀ мәнінде алынатын шешім теңдеудің дербес шешімі деп аталады. теңдеудің берілген бастапқы у(х₀)=у₀ шартты қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебі дейді.

№32. Айнымалыларды ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер.Мысалдар. Айнымалысы ажыратылатын дифференциалды теңдеу. Егер теңдеу мына түрде: жазылатын болса, ол айнымалысы ажыратылатын дифференциалды теңдеу деп аталады. Бұл теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын көбейткішке бөлеміз: Сонда dx алдында тек х-тен тәуелді, ал dy алдында тек у-тен тәуелді функция тұрады да, теңдеудің айнымалылары ажыратылады. Енді теңдеуді мүшелеп интегралдап шешімін табуға болады:.Мысалы, xy'+y=0 дифференциалды теңдеудің шешімін табайық. екенін ескеріп теңдеуді мына түрде жазайық: . Теңдеудің екі жағын ху көбейткішке бөліп айнымалысын ажыратамыз: . Мүшелеп интегралдасақ, lny+lnx=lnC, осыдан екендігі шығады.

№33. Бірінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеулер.Мысалдар. Бiрiншi реттi дифференциалды теңдеу сызықты деп аталады, егер ол мынадай түрде жазылатын болса: y'+P(x)y=Q(x) Егер (5) теңдеудегі Q(x)=0 болса сызықты теңдеу біртекті деп аталады. y'+P(x)y=0 Сызықты біртекті дифференциалды теңдеу шешімін айнымалыны алмастыру әдісімен бірден алуға болады: Мысал. дифференциалды теңдеуді шешу керек.Шешуі. Теңдеудің екі жағын х-ке бөлсек, сызықты теңдеу аламыз: , мұнда P(x)= , Q(x)=2x³ . Теңдеудің шешімін табу үшін формула қолданамыз.Сонымен, берілген сызықты теңдеу шешімі: .

№34. Бірінші ретті сызықты дифференцалдық теңдеулер.Мысалдар.

№35. Екі айнымалы функциялар.Негізгі түсініктер.Деңгей сызығы. Екі айнымалыдан тәуелді функцияны z=деп белгілейміз. Бұл функцияның анықталу облысы хОу жазықтығында анықталады. Екі айнымалыдан тәуелді функция графигі үш өлшемді кеңістіктегі (х, у, z) нүктелердің геометриялық орнымен анықталатын қандай да бір бет болады. Мұнда х – абсцисса, у – ордината, z – апликата, және олар арасында z = f(x, y) функциялық байланыс бар. Осы бетті z = С жазықтығымен қиғанда пайда болатын сызық z= f(x, y) функциясының деңгейлік сызығы деп аталады: f(x, y) = С. Көп жағдайда функция графигін қарастырғаннан гөрі оның деңгейлік сызығын зерттеу оңай болады. z= f(x, y) функциясына бір айнымалыдан тәуелді екі функция сәйкес қоюға болады: х аргументті тұрақты деп (x=x₀) қарастырғанда z= f(x₀ , y) функциясын және у аргументті тұрақты деп (у=у₀) қарастырғанда z= f(x , y₀ ) функциясын.

№36. Дербес туындылар. Толық туынды ж\е Толық дифференциал. Z= f(x, y) функциясының дербес өсімшелерінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған жағдайдағы шегі функцияның дербес туындысы дейді, былай жазылады:

Бұл анықтамадан z туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп, ал z туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп қарастыру керек. Және де бір айнымалы функция дифференциалынан белгілі дифференциалдаудың барлық ережелері сақталады. z= f(x, y) функцияның толық дифференциалы деп осы функцияның дербес туындыларының сәйкес аргумент өсімшелеріне көбейтіндісінің қосындысын айт:Егер f(x,y) = x, g(x,y) = y функциялары үшін қатынас бойынша толық дифференциалдарын тапсақ, df = dx=x, dg = dy=y болатындығы шығады. Олай болса функцияның толық дифференциалын мына түрде жазуға болады:.

№37. Екі айнымалы функцияның экстремумы. Қажетті ж\е жеткілікті шарттар. М(х₀,у₀) нүктенің жақын маңайында жатқан барлық (х, у) нүктелер үшін f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның максимум нүктесі деп, ал f(х₀,у₀) f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х₀,у₀) функцияның минимум нүктесі деп аталады.Функция максимумы мен минимумы функция экстремумы деп аталады.Экстремумның қажетті шарты. М(х₀,у₀) нүктесі z= f(x, y) функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктедегі функцияның дербес туындылары нолге тең,, . Экстремумның жеткілікті шарты. z= f(x, y) функциясы: 1) дербес туындылары нолге тең болатын , , М(х₀,у₀) нүктесінің маңайында анықталған болсын; 2) функцияның осы нүктеде екінші ретті үзіліссіз туындылары бар, , , . Онда, егер болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум бар, және егер A<0 – максимум, A>0 – минимум; ал болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремум жоқ; болса М(х₀,у₀) нүктеде экстремумның бар жоқтығы белгісіз.

№38.Ықтималдықтың классикалық ж\е статистикалық анықтамасы. Тәжірибедегі ізделінді оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар санының, барлық элементар оқиғалар санына қатынасы оқиға ықтималдығы деп аталады және Р әрпімен белгілейді:

мұндағы А – ізделінді оқиға, т - осы оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны, п - элементар оқиғалар саны. Осы анықтаманы ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.

Статистикалық тұрақтылық пайда болған кездегі салыстырмалы жиілік оқиға ықтималдығы деп қабылданады . Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.

№39.Ықтималдықтардың қосу ж\е көбейу теоремалары. Үйлесімсіз екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады:. Бұл теорема оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, онда Егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құраса, онда .Тәжірибе нәтижесінде мүмкін болатын екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісін болдырмаса, ол оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады А оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны деп белгілейді. Қарама қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:

. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады. Тәуелсіз А мен В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы әр оқиға ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: Бұл оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан тәуелсіз болса, онда .

№40. Шартты ықтималдық.Тәуелді оқиғалар. Шартты ықтималдық. В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының болған болмағанына тәуелді болатын жағдайлар болады. Сондықтан деп, шартты ықтималдық, А оқиғасы орындалып кетті деп есептегендегі В оқиғасының ықтималдығын белгілейді. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады

№41. Толық ықтималдық формуласы. Бейес формуласы. Егер А оқиғасы, зара үйлесімсіз, толық топ құратын оқиғаларының біреуімен бірге пайда болатын болса, А оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады.

Мұндағы -шартты ықтималдықтар. Бұл формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады. Сондай-ақ жоғарыдағы шарттар сақталғанда Бейес формуласы орындалады:

Бұл формула гипотезалардың ықтималдығын А оқиғасы пайда болғаннан кейін есептеуге қолданылады.

№42. Тәуелсіз сынақтар үшін Бернулли формуласы.Пуассон формуласы. Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Онда А оқиғасының пайда болмауы болады. Енді осы тәжірибелер нәтижесінде А оқиғасы k рет пайда болу ықтималдығын деп белгілейді және ол мынаған тең: