func_res

Содержание

3.2.Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

Вместо предисловия

Две основные причины побудили меня написать это учебное пособие. Многие годы чтения курса по прикладному функциональному анализу выявили необходимость того, чтобы студенты имели лаконичное пособие, максимально автономное и предназначенное, в первую очередь, для интенсивного практикума. Кроме того, в процессе консультаций с инженерами и физиками, обращавшимися ко мне за советами по поводу трудностей, с которыми они сталкивались при решении возникавших перед ними задач, выяснилось, что инженеру, не являющемуся профессиональным математиком и желающему строго обосновать предлагаемый им способ решения практической задачи, необходимо ознакомиться с современным математическим аппаратом, по крайней мере с основами функционального анализа. Этот раздел математики содержит много новых для нематематика абстрактных понятий, которые нельзя усвоить второпях. Таким образом, возникла идея подготовки учебного пособия, содержащего теоретические сведения по функциональному анализу, которые можно глубже усвоить с помощью упражнений и контрпримеров. Литература по функциональному анализу достаточно обширна, но представлена она, в основном, ”толстыми” книгами известных авторов, изданными давно, и практически отсутствующими в библиотеках вузов. Данное пособие призвано восполнить указанный пробел. Оно является первой частью серии пособий по прикладному функциональному анализу, над которой работает автор. В дальнейшем предполагается рассмотреть теорию линейных функционалов и ее приложения, теорию линейных и нелинейных операторных уравнений, экстремальные задачи в гильбертовых пространствах и приложения функционального анализа к задачам оптимального управления.

Александр Чеботарев

Владивосток, 2000

4

1.Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

1.1. Что такое метрика?

Определение 1. Если каждой паре элементов x, y некоторого множества X поставлено в соответствие число ρ(x, y) R, называемое расстоянием между элементами x и y так, что

1.ρ(x, y) = 0 x = y;

2.ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) x, y, z X,

то множество X называется метрическим пространством с метрикой ρ(x, y).

Свойство 1 называется аксиомой тождества, а свойство 2 аксиомой треугольника.

Пример 1.1. Показать, что из аксиом 1, 2 вытекает свойство (аксиома симметрии) 3. ρ(x, y) = ρ(y, x) ≥ 0 x, y X.

Решение. Положим в аксиоме треугольника z = x. Тогда из аксиомы тождества вытекает ρ(x, y) ≤ ρ(y, x) x, y X. Меняя местами x и y получаем симметричность метрики. Если в аксиоме 2 положить y = x получим неотрицательность метрики.

Метрическое пространство определяется выбором множества X и метрики ρ; одно и то же множество может порождать различные метрические пространства при введении различных метрик. Элементами метрического пространства могут быть объекты различной природы: числа, векторы, функции, студенты (если смоделировать группу студентов как некоторое множество) и т. п. Эти элементы называются точками метрического пространства.

Пример 1.2. Пусть X — произвольное множество. Доказать, что формула

ρ(x, y) =

0 при x = y,

1 при x =6 y

определяет метрику на X ( X – дискретное пространство).

Решение. Выполнение аксиомы 1 очевидно. Проверим справедливость неравенства треугольника. Последнее не выполняется, если ρ(x, y) = 1, x 6= y, а при этом ρ(x, z) + ρ(y, z) = 0. Однако последнее возможно если только ρ(x, z) = ρ(y, z) = 0 и тогда x = z и y = z, что противоречит условию x 6= y.

Пример 1.3. Пусть ρ(x, y) — метрика на X. Доказать, что функции

1.ρ1(x, y) = ρ(x, y)/(1 + ρ(x, y)),

2.ρ2(x, y) = ln(1 + ρ(x, y)),

3.ρ3(x, y) = min{1, ρ(x, y)}

также являются метриками.

1.2.Примеры метрических пространств

1.Евклидово пространство размерности n ≥ 1:

5

2. Пространство p-суммируемых последовательностей:

3. Пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций:

Упражнение 1.1. Проверить справедливость аксиом метрики для пространств Rn, lp,

C[a, b], Lp(a, b).

Упражнение 1.2. Проверить справедливость аксиом метрики ρ(x, y) = sup |x(t) − y(t)|

t T

для множества M(T ) всех ограниченных функций, определенных на множестве T .

Пример 1.4. Каким условиям должна удовлетворять функция f : R → R, чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику ρ(x, y) = |f(x) − f(y)|?

Решение. Аксиома треугольника справелива, очевидно, для произвольной функции f. Для справедливости аксиомы тождества необходимо и достаточно, чтобы из условия f(x) = f(y) вытекало x = y, т.е. чтобы функция f была обратимой.

1.3.Mножества в метрических пространствах

1.Открытый шар: B(a, r) = {x X : ρ(x, a) < r}.

2.Замкнутый шар: B(a, r) = {x X : ρ(x, a) ≤ r}.

3. Ограниченное множество M: существует шар B(a, r), такой, что M B(a, r); число diam M = sup {ρ(x, y) : x, y M} называется диаметром M; числа ρ(x, M) = inf {ρ(x, y) : y M}, ρ(M, K) = inf {ρ(x, y) : x M, y K} называются расстоянием от точки x до множества M и расстоянием между множествами M и K соответственно.

6

4. Открытое множество M X: x M r > 0 B(x, r) M, т. е. любая точка множества M является внутренней точкой и, значит, содержится в M вместе с некоторым шаром. Для множества M X точка a X называется предельной точкой этого множества, если в любом шаре B(a, r), r > 0 найдется точка x M, x 6= a; точка a M называется

всех его предельных точек.

5.Замкнутое множество M X: M = M.

6.Множество M K плотное в множестве K : K M. В частности, множество M называется всюду плотным в пространстве X, если M = X; M нигде не плотно, если каждый шар пространства X содержит в себе некоторый шар, свободный от точек M.

7.Пространство X называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное множество.

8.Граница ∂M множества M:

T T

∂M = {x X : ε > 0, M B(x, ε) 6= , (X \ M) B(x, ε) 6= }.

Упражнение 1.3. Доказать

SS

Упражнение 1.4. Доказать, что граница ∂M замкнутое множество и при этом ∂M =

1.4. Сходимость и полнота

Последовательность {xn} элементов метрического пространства X называется:

1. сходящейся к элементу x X, если числовая последовательность ρ(xn, x) → 0 при

n → ∞, (x = lim xn или xn → x);

n→∞

2. фундаментальной, если ρ(xn, xm) → 0 при n, m → ∞.

Пример 1.5. Доказать, что сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Решение. Пусть последовательность {xn} сходится к точке x. Тогда на основании неравенства треугольника заключаем, что

ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xm, x) → 0.

Последнее означает фундаментальность последовательности.

Определение 2. Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.

7

Одно и то же множество с разными метриками может порождать полное или неполное метрическое пространство. Пространство будет полным тогда и только тогда, когда для последовательности замкнутых множеств, вложенных друг в друга, диаметры которых стремятся к нулю, всегда найдется единственная точка, принадлежащая всем этим множествам.

Упражнение 1.6. Доказать, что фундаментальная последовательность ограничена.

∞

X

Упражнение 1.7. Пусть xn X и числовой ряд ρ(xn, xn+1) сходится. Доказать, что

n=1

{xn} фундаментальная. Верно ли обратное?

Замечание. Пространства, приведенные в п. 1.2 , являются полными. Примером неполного метрического пространства может служить множество Q рациональных чисел с обычным расстоянием ρ(x1, x2) = |x1 − x2|. Последовательность xn = (1 + 1/n)n Q является фундаментальной, однако lim xn = e не является рациональным числом.

1.5.Компактность

ВXIX веке чешский математик Б. Больцано заметил, что всякое ограниченное множество точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную точку. Идея выделения сходящейся последовательности из некоторых множеств привела к следующему понятию.

Определение 3. Множество K метрического пространства X называется компактным, если из любой бесконечной последовательности {xn} K можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к элементу x K.

Упражнение 1.8. Доказать, что компактное множество замкнуто и ограничено.

Упражнение 1.9. Привести пример ограниченного и замкнутого множества в C[0, 1], не являющегося компактным.

Множество M X называется относительно компактным, если M – компактное множество. Множество A образует ε-сеть для множества M, если x M y A такой, что ρ(x, y) < ε. Если ε > 0 множество M имеет конечную ε-сеть, то M называется вполне ограниченным. Оказывается, что в полном метрическом пространстве компактность M равносильна вполне ограниченности M. Пусть Ω Rd — замкнутое ограниченное множество; через C(Ω) oбо-

значаем пространство непрерывных на Ω функций, ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)|. Множество

t Ω

M C(Ω) называется равномерно ограниченным, если α > 0 : |x(t)| ≤ α x M при всех t Ω. При этом постоянная α не зависит от x(t). Равностепенная непрерывность множества M означает, что ε > 0 δ > 0, зависящая только от ε: t1,2 Ω, |t1 − t2| < δ |x(t1) − x(t2)| < ε x M. Подчеркнем, что δ не зависит ни от выбора t1, t2, ни от функции

x = x(t) M. Относительная компактность множества K C(Ω) равносильна равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности K.

Упражнение 1.10. Доказать, что множество

K = x = x(t) : x(t) = e−αt, t [0, 1], α [1, 2]

вполне ограничено в C[0, 1].

Типичным примером компактного множества в C(Ω) является следующее:

K = x = x(t) C(Ω) : |x(t)| ≤ α t Ω, |rx(t)| ≤ β t Ω .

8

1.6. Как линейное пространство сделать нормированным?

Рассмотрим линейное (векторное) пространство с умножением на вещественные числа. Понятие линейного пространства носит чисто алгебраический характер. Для того, чтобы изучать в этом пространстве задачи, связанные со сходимостью элементов, нужно определить расстояние между элементами, т. е. ввести метрику.

Определение 4. Линейное пространство E над полем R называется нормированным пространством, если определено отображение:

x E 7→xkk ≥ 0 такое, что

1.kxk = 0 x = 0 (условие тривиальности);

2.kλxk = |λ| · kxk λ R (условие однородности);

3.kx + yk ≤ kxk + kyk (неравенство треугольника).

Число kxk называется нормой элемента (точки, вектора) x E.

Любое нормированное пространство является метрическим, если определить метрику: ρ(x, y) = kx − yk. Поэтому все понятия, определенные в п. 1.1–1.5 для метрических пространств используются и в нормированных. Например, сходимость по норме (или сильная сходимость) последовательности xn E к элементу x E имеет место, если kxn − xk → 0, при n → ∞.

Если нормированное пространство является полным в смысле сильной сходимости, то оно называется банаховым пространством (или пространством Банаха). Метрические пространства, приведенные в п. 1.2, являются банаховыми по соответствующим нормам:

Так как нормированное пространство E фактически является линейным пространством, то для E имеют смысл понятия, определённые для линейных пространств. Например:

1. Пусть A E, B E. A + B = {a + b : a A, b B} E

2. Множество L E называется линейным многообразием, если x, y L, λ R: x + y L, λ · x L.

3.Множество x0 + L, где x0 E, L — линейное многообразие, называется аффинным многообразием.

4.Элементы x1, x2, . . . , xn, . . . линейного пространства E называются линейно независимыми, если n N

n

X

cixi = 0, ci R ci = 0, i = 1, 2, . . . , n.

i=1

В противном случае элементы x1, x2, . . . , xn будут линейно зависимыми.

9

=1

Числа ci называются координатами элемента x в данном базисе; число n называется размерностью L, n = dim L; L называется n-мерным многообразием. Если n N в L можно найти n линейно независимых элементов, то L называется бесконечномерным линейным многообразием, dim L = ∞.

6. Отрезком, соединяющим точки x, y E, называется множество

[x, y] = {αx + βy : α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.

Множество A E называется выпуклым, если [x, y] A x, y A.

Соединение алгебраической структуры линейного пространства и метрических свойств элементов, определяемых нормой, приводит к понятию подпространства, которое есть просто замкнутое линейное многообразие. Заметим, что в случае если L — линейное многообразие, n = dim L < ∞, то L = L, то есть L — подпространство. Для бесконечномерных линейных многообразий равенство L = L может не иметь место, то есть не все линейные многообразия являются подпространствами. Если L — подпространство пространства E, dim L = ∞, то последовательность линейно независимых элементов {xi}∞i=1 L называется счетным базисом L, если x L {ci}∞i=1 R:

n

XX

x = cixi, т.е. kx − cixik → 0 при n → ∞.

i=1

Упражнение 1.11. Пусть L — множество всех многочленов степени не больше n, определенных на [a, b]. Показать, что L — подпространство в C[a, b]. Найти его базис.

Упражнение 1.12. Образует ли подпространство в C[a, b] множество всех многочленов?

Упражнение 1.13. Доказать, что шар в нормированном пространстве не может содержать ненулевого линейного многообразия.

Водном и том же линейном пространстве E можно по-разному определять норму элемента x E. Две нормы kxk1 и kxk2 называются эквивалентными, если: α, β > 0, αkxk1 ≤ kxk2 ≤

βkxk2 x E.

Вэтом случае из сходимости по одной норме следует сходимость по другой норме, а если по одной из этих норм E является полным (т.е. банаховым), то E является банаховым и по другой (из эквивалентных) норме. Отметим также, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Вложение нормированного пространства X в нормированное пространство Y, X Y называется непрерывным, если kxkY ≤ γkxkX x X, где γ не зависит от x. Если при этом ограниченное в X множество будет предкомпактным в Y , то вложение называется компактным.

Вобщем случае в нормированных пространствах неопределено понятие угла между элементами и, соответственно, ортогональности элементов. Тем не менее справедлив следующий результат о существовании «почти перпендикуляра» к подпространству L E, L 6= E:

ε > 0 y E, kyk = 1,

kx − yk > 1 − ε x L.

(y E — «почти перпендикуляр»).

10

1.7. Скалярные произведения и гильбертовы пространства

Пусть V — линейное пространство над R. Скалярное произведение на V есть симметрическая билинейная форма, являющаяся при этом положительно определенной. Каждой паре элементов x, y V ставится в соответствие число (x, y), удовлетворяющее аксиомам:

x, y, λ R

1.(x, y) = (y, x) (симметрия);

2.(λx, y) = λ(x, y); (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (линейность);

3.(x, x) > 0, если x 6= 0 (положительная определенность).

Пространство V со скалярным произведением называется евклидовым.

Замечание. Рассматривая линейное пространство V над полем C комплексных чисел, следует заменить аксиому 1 в определении скалярного произведения условием (x, y) = (y, x). Пространство V при этом называется унитарным пространством.

Фундаментальным свойством скалярного произведения является справедливость неравен-

ства Коши-Буняковского

|(x, y)|2 ≤ (x, x) · (y, y),

которое сразу следует из неотрицательности квадратичной функции

f(t) = (x + ty, x + ty) ≥ 0 t R.

(достаточно положить t = −(x, x)/(y, y), если y 6= 0). Неравенство переходит в равенство тогда и только тогда, когда x отличается от y скалярным множителем.

Из неравенства Коши–Буняковского следует, что в евклидовом (и унитарном) пространстве можно определить норму

ским) пространством.

Наличие скалярного произведения позволяет определить угол между ненулевыми элементами евклидова пространства x, y; ϕ = (x,dy), если ϕ = arccos{(x, y)/(kxk·kyk)}. В частности, элементы x и y из V называются ортогональными (x y), если (x, y) = 0; множество z V таких, что (z, x) = 0 x M V , обозначается M (перпендикуляр к M).

Определение 5. Евклидово (унитарное) пространство V называется гильбертовым, если оно полное по норме, определяемой скалярным произведением.

Таким образом гильбертово пространство является банаховым, т. е. полным нормированным пространством.

Замечание. Нормированное пространство можно сделать евклидовым в том и только в том случае, если в нем выполняется равенство «параллелограммa»

kx − yk2 + kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2) x, y V,

при этом скалярное произведение имеет вид:

(x, y) = 14(kx + yk2 − kx − yk2).

11

Упражнение 1.14. Доказать, что скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходимости по норме.

Приведем примеры гильбертовых пространств.

Если M — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве V , то для любого элемента x V существует единственный элемент y M такой, что

p

ρ(x, M) = kx − yk = (x − y, x − y).

Элемент y называется проекцией элемента x на множество M, y = PM (x). Очевидно, что условие x = PM (x) равносильно тому, что x M. Выбрав в качестве M подпространство H V , заключаем, что любой элемент x V допускает единственное представление в виде:

x = u + v, u H, v H ,

при этом u = PH (x), v = PH (x) и справедлива теорема Пифагора

kxk2 = kuk2 + kvk2.

Упражнение 1.15. Доказать, что если H — подпространство гильбертова пространства Y , то H также будет подпространством.

Равенство x = PH (x) + PH (x) x V часто записывают в виде V = H H и говорят, что V есть ортогональная сумма подпространств H и H . Напомним, что система элементов {x1, x2, . . .} V называется

1.линейно независимой, если n N система {x1, x2, . . . , xn} линейно независима;

2.ортогональной, если (xk, xj) = 0 при k 6= j, xk 6= 0.;

3. ортонормированной, если (xk, xj) =

1, k = j,

0, k =6 j.

Оказывается, эти понятия тесно связаны — ортогональная система всегда линейно независима и, обратно, любую линейно независимую систему можно ортонормировать с помощью процесса ортогонализации Шмидта. Полагаем e1 = x1/kx1k. Далее, если

k−1

X

qk = xk − (xk, ej)ej, k = 2, 3, . . . ,

j=1

то ek = qk/kqkk.

12