35. Генеральная и выборочная совокупности. Объем выборки.

1.Генеральная (включает все единицы наблюдения, которые могут быть к ней отнесены в соответствии с целью исследования.) Генеральная совокуп¬ность может рассматриваться не только в пределах конкретных производств или территориальных границ, но также и ограничиваться другими признаками (пол, возраст) и их сочетанием. Таким образом, в зависимости от цели исследования и его задач изменяются границы генеральной совокупности, для этого используют основные признаки, ее ограничивающие. 1. Выборочная (часть генеральной совокупности, которая должна быть репрезентативной по отношению к генеральной и наиболее полно отражать ее свойства). На основе анализа выборочной совокупности можно получить достаточно полное представление о закономерностях, присущих всей генеральной совокупности.  Выборочная совокупность должна быть репрезентативной, т. е. в отобранной части должны быть представлены все элементы и в таком же соотношении, как в генеральной совокупности. Иными словами, выборочная совокупность должна отражать свойства генеральной совокупности, т. е. правильно ее представлять Репрезентативность должна быть количественной и качественной.  Количественная - основана на законе больших чисел и означает достаточную численность элементов выборочной совокупности, расчитываемую по специальным формулам и таблицам.  Качественная - основана на законе вероятности и означает соотвестиве (однотипность) призщнаков, характеризующих элементы выборочной совокупности по отношению к генеральной.

Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30—35

36. Вариационный ряд — это двойной ряд чисел, состоящий из обозначения классов и соответствующих частот. Показывает, как изменяется признак от минимальной до максимальной величины (крайние варианты —minиmaxs), какая частота вариантов в каждом классе.

Статистический ряд – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу группировки различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивныминазывают ряды, построенные по качественным признакам.

Вариационнымирядами называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Каждый вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.Вариантамисчитаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду, т.е. конкретное значение варьирующего признака.Частоты– это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, показывающие, как часто встречается та или иная варианта в ряду.Частостяминазывают частоты, выраженные в процентах или долях единицы.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды. В случае дискретной вариации величина количественного признака принимает только целые значения. В случае непрерывной вариации величина признака у единиц совокупности может принимать в определенных пределах любые значения.

В интервальном вариационном ряду частоты (или частости) , характеризующие повторяемость вариант в выборке, распределяются по интервалам группировки. Интервальный вариационный ряд строится, если изучаемый признак варьирует непрерывно, но используется и для дискретно варьирующих признаков в тех случаях, когда признак варьирует в широких пределах.

37.Полигоном частотназывают ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), ..., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки ( xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1;W1), (x2;W2), ..., (xk;Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают вариантыxi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частотыWi. Точки (xi;Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинойh, а высоты равны отношениюni/h(плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h.

Площадь i- го частичного прямоугольника равнаhni/h=ni- сумме частот вариантi- го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношениюWi/h(плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi/h(Рис. 2).

Площадь i- го частичного прямоугольника равнаhWi/h=Wi- относительной частоте вариант попавших вi- й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

38. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция  определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.

При росте n относительная частота события X<x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами:

.

Теоретическая- потому и теоретическая, что известна заранее для основных распределений. Выборочная функция сравнивается с теоретическими - обычно через вероятностные бумаги - и является приближением одной из них (в силу ограниченности выборки).

39. Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.

При контроле по количественному признаку в ряде случаев среднее квадратическое отклонение а контролируемого параметра заранее бывает известно ( например, когда технологический процесс стабилен) либо неизвестно. Если среднее квадратическое отклонение а известно, то используется а-план выборочного контроля. Этот метод предусматривает наименьший объем выборки по сравнению с другими методами и требует меньше вычислений. Если среднее квадратическое отклонение 0 неизвестно, стандарт предусматривает два метода его оценки: по выборочному среднему квадратическому отклонению 5 и по размаху. В первом случае используется S-план выборочного контроля, во втором случае - R-илгн выборочного контроля. С теоретической точки зрения предпочтительнее оценивать среднее квадратическое отклонение а по выборочному среднему квадратическому отклонению 5, а не по размаху R, так как первый метод оценки дает более точные результаты. Поэтому S-метод является основным методом оценки при контроле качества продукции по количественному признаку, даже несмотря на то, что он требует более сложных вычислений, чем - метод. При использовании - метода следует иметь в виду, что чем больше объем выборки, тем меньше информации дает ее размах о значении среднего квадратического отклонения о. При объеме выборки больше восьми единиц продукции оценивать среднее квадратическое отклонение по размаху вообще не рекомендуется. [11]

При контроле по количественному признаку в ряде случаев среднее квадратическое отклонение а контролируемого параметра заранее бывает известно ( например, когда технологический процесс стабилен) либо неизвестно. Если среднее квадратическое отклонение а известно, то используется а-план выборочного контроля. Этот метод предусматривает наименьший объем выборки по сравнению с другими методами и требует меньше вычислений. Если среднее квадратическое отклонение 0 неизвестно, стандарт предусматривает два метода его оценки: по выборочному среднему квадратическому отклонению 5 и по размаху. В первом случае используется S-план выборочного контроля, во втором случае - R-илгн выборочного контроля. С теоретической точки зрения предпочтительнее оценивать среднее квадратическое отклонение а по выборочному среднему квадратическому отклонению 5, а не по размаху R, так как первый метод оценки дает более точные результаты. Поэтому S-метод является основным методом оценки при контроле качества продукции по количественному признаку, даже несмотря на то, что он требует более сложных вычислений, чем - метод. При использовании - метода следует иметь в виду, что чем больше объем выборки, тем меньше информации дает ее размах о значении среднего квадратического отклонения о. При объеме выборки больше восьми единиц продукции оценивать среднее квадратическое отклонение по размаху вообще не рекомендуется. [12]