§10. Перспективно-аффинные преобразования

Приведем пример аффинного преобразования, которое не является подобием.

О п р е д е л е н и е. Перспективно-аффинным преобразованием или родством называется нетождественное аффинное преобразование, имеющее по крайней мере две неподвижные точки.

Пусть инеподвижные точки родства. Реперпри родстве перейдет в репер., причем(почему?). Пустьимеет в реперекоординаты. Тогда учитывая, что точкапереходит в точку, точкапереходит в, точкапереходит в, из формул аффинного преобразования получаем:

.

Тогда формулы родства принимают вид:

(*)

Из этих формул получаем свойства родства:

1. Любая точка прямой, проходящей через неподвижные точки родства, является неподвижной точкой. Эта прямая неподвижных точек называется осью родства. Из следствия теоремы о задании аффинного преобразования парой соответствующих аффинных реперов, получаем, что все неподвижные точки родства лежат на его оси.

2. Прямые, соединяющие соответствующие точки родства, не лежащие на его оси, параллельны или совпадают. Действительно, если точка перешла в точку, то учитывая формулы (*), получим. То есть прямая, соединяющая соответствующие точки родства, параллельна вектору.

Если прямые, соединяющие соответствующие точки родства, не параллельны оси родства, то оно называется косым сжатием плоскости.

Если прямые, соединяющие соответствующие точки родства, параллельны оси родства, то оно называется сдвигом плоскости.

3. Если прямая пересекает ось родства, то её образ проходит через эту точку пересечения; если прямая параллельна оси родства, то её образ тоже параллелен оси родства.

У п р а ж н е н и е. Постройте образ произвольной точки плоскости при родстве, заданном осью и парой соответствующих точек.

§11. Группа аффинных преобразований, её подгруппы. Эрлангенская программа ф. Клейна

Множество А всех аффинных преобразований плоскости является группой относительно композиции преобразований. Основным инвариантом этой группы является простое отношение трех точек прямой.

Фигуры иназываются аффинно-эквивалентными, если они эквивалентны относительно группы аффинных преобразований. Примерами аффинно-эквивалентных фигур являются любые два треугольника, любые два эллипса, две гиперболы, две параболы.

Примерами подгрупп группы А аффинных преобразований являются:

• –множество всех аффинных преобразований первого рода. К инвариантам группы А добавляется еще один инвариант – ориентация плоскости.

• Р – группа подобий. К инвариантам группы А добавляется инвариант – величина угла.

• –группа движений. К инвариантам группы подобий добавляется инвариант – расстояние.

• –группа движений первого рода. К инвариантам группы движений добавляется инвариант – ориентация плоскости.

Приведите ещё примеры подгрупп группы А и отметьте изменения в числе инвариантов.

Можно заметить, что чем уже группа, тем шире список инвариантов.

XIX век явился периодом бурного развития геометрических учений. Еще в начале этого столетия было распространено глубокое убеждение в уникальности евклидовой геометрии, так что выражение «геометрия» полностью отождествлялось с понятием «евклидова геометрия». Однако к рубежу 20-х, 30-х годов появляются первые работы Н.И. Лобачевского, Я. Бойяи, посвященные гиперболической геометрии. В конце 60-х годов была опубликована замечательная речь Римана, постулирующая равноправность трех «геометрий постоянной кривизны»: евклидовой, гиперболической и эллиптической.

Бурное развитие геометрии поставило на повестку дня вопрос об общем описании всех рассматриваемых математиками «геометрических систем».

В 1872 году 23-летний Феликс Клейн, вступая в должность профессора кафедры математики Эрлангенского университета, прочел открытую лекцию на тему «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Лекция Клейна за ясность позиции автора и открываемые широкие горизонты дальнейшего прогресса геометрии почти сразу получила в научном мире почетное звание «Эрлангенская программа». Идея Клейна состоит в следующем:

Каждой группе преобразований соответствует своя геометрия – теория, которая изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях данной группы.

Таким образом, имеем многообразие геометрий: аффинная геометрия, соответствующая группе аффинных преобразований, геометрия движений, геометрия подобий и т. д.