ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
.docC 2 № 48. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
Решение.
Пусть искомое расстояние равно км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно часа. Из условия задачи следует, что это время равно 3 часа. Составим уравнение: . Решив уравнение, получим = 8 .
Ответ: 8 км.
C 2 № 126. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.
Решение.
Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна км/ч. Тогда скорость пешехода, шедшего из пункта B, равна км/ч. Время движения пешехода из пункта A до места встречи ч на полчаса меньше, чем время движения другого пешехода ч. Составим уравнение: . После преобразования оно примет вид: Корни уравнения 6 и −3. Значит, скорость пешехода, шедшего из А, равна 6 км/ч.
Ответ: 6.
C 2 № 311564. Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Обозначим искомую скорость (в км/ч) за . Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, а яхта 9 часов. Таким образом, имеем:
,
откуда находим .
Ответ: 18 км/ч.
C 2 № 311570. Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Обозначим искомую скорость (в км/ч) за . Плот прошёл 34 км, значит, он плыл 17 часов, а яхта 16 часов. Таким образом, имеем:
,
откуда находим .
Ответ: 16 км/ч.
C 2 № 311598. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
Решение.
Пусть первый оператор может выполнить данную работу за часов, а второй за часов. За один час первый оператор выполняет часть всей работы, а второй . Составим систему уравнений:
Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.
C 2 № 311616. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?
Решение.
Предположим, что ученик делает деталей в час. Тогда мастер делает детали в час. На изготовление 231 детали ученик потратит ч, а мастер тратит ч на изготовление 462 деталей. Составим уравнение по условию задачи:
.
Решим уравнение:
.
Корни полученного квадратного уравнения: −28 и 3. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что ученик делает в час 3 детали.
Ответ: 3.
C 2 № 311617. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
Решение.
Пусть за минуту в бак накачивается литров воды. Тогда за минуту выкачивается л воды. По условию задачи составим уравнение:
,
откуда
Получаем квадратное уравнение
,
имеющее корни: и .
Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 9 л воды.
Ответ: 9.
C 2 № 311653. Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?
Решение.
Пусть кг и кг — массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда кг — масса полученного раствора, содержащего кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20 %, откуда
Решим систему двух полученных уравнений:
Замечание. Решение можно сделать несколько проще, если заметить, что из полученных уравнений следует: , откуда . Первое уравнение принимает вид , откуда .
Ответ: 2 кг.
C 2 № 314442. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором — 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Решение.
Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,7x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,4y кг меди. Соединив два этих сплава получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,5(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение:
Выразим x через y:
Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы:
Ответ:
C 2 № 311656. Найдите целое число, если из двух следующих утверждений верно только одно: 1) ; 2) .
Решение.
Если верно утверждение 1, то верно и утверждение 2, а это противоречит тому, что из этих двух утверждений верно только одно. Следовательно, верно только утверждение 2. Тогда . Этому неравенству удовлетворяет только одно целое число: .
Ответ: −17.
C 2 № 314508. На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?
Решение.
Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев. Пусть количество голосов, отданных за Зайцева равно . Тогда за Журавлёва и Иванова вместе отдали . Процент голосов, отданных за Борисова
Ответ: 75%.
C 2 № 316268. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение.
По условию первая труба за одну минуту наполняет часть бассейна, а две трубы вместе за одну минуту наполняют часть бассейна. Таким образом, одна вторая труба за минуту наполняет часть бассейна, то есть она наполняет весь бассейн за 15 часов.
Ответ: 15.