- •§2. Свободный вектор
- •§3. Сложение и вычитание свободных векторов
- •§4. Умножение свободного вектора на число
- •Лекция 2. Векторное пространство. Базис и координаты вектора §5. Понятие векторного пространства
- •§6. Линейная зависимость векторов
- •§7. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Лекция 3. Скалярное умножение свободных векторов §8. Проекция вектора на вектор
- •§9. Скалярное умножение свободных векторов
- •Лекция 4 - 5. Векторное и смешанное умножение свободных векторов §10. Ориентация векторного пространства
- •§11. Векторное умножение свободных векторов
- •§12. Смешанное умножение свободных векторов
- •Раздел II. Аналитическая планиметрия Лекция 1. Аффинные системы координат на плоскости. Метод координат §1. Аффинная система координат на плоскости
- •§2. Формулы преобразования координат
- •§3. Метод координат на плоскости
- •Лекция 2. Прямая на плоскости как линия первого порядка §4. Уравнение прямой на плоскости
- •§5. Особенности расположения прямой относительно системы координат
- •Лекция 3. Аналитическое задание полуплоскостей. Вычисление расстояний и углов на плоскости §6. Геометрический смысл знака трехчлена прямой
- •§7. Расстояние от точки до прямой
- •§8. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •§9. Угол между прямыми
- •Лекция 4. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола §10. Эллипс
- •§11. Гипербола
- •§12. Парабола
- •§13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы
- •Лекция 5. Классификация линий второго порядка на плоскости §14. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Лекция 6. Общая теория линий второго порядка §15. Центр линии второго порядка
- •§16. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой
- •§19. Диаметры линий второго порядка
- •§20. Главные направления, главные диаметры
- •Литература
§19. Диаметры линий второго порядка
Пусть вектор определяет неасимптотическое направление относительно линии второго порядка.
Рассмотрим множество середин всех хорд, параллельных этому направлению.
Задавая уравнения хорд, в качестве начальной точки будем брать именно середину хорды. Тогда
,
где – корни уравнения (*), определяющие концы хорды.
Получаем и по теореме Виета в уравнении (*), то есть координаты всех точекфигурыудовлетворяют уравнению
()
или
.
В уравнении хотя бы один из коэффициентов приотличен от нуля ( в противном случае получим, что противоречит выбору направления вектора). Таким образом,– это уравнение прямой и каждая точка множествапринадлежит этой прямой.
Можно показать, что каждая точка прямой, задаваемой уравнением , является серединой хорды, параллельной вектору, а значит, принадлежит множеству.
Таким образом, справедливо следующее утверждение
Т е о р е м а. Множество середин всех хорд линии второго порядка, параллельных неасимптотическому направлению, есть прямая, называемая диаметром, сопряженным этому направлению.
С л е д с т в и е 1. Из уравнения () следует, что если линияимеет центр, то он принадлежит диаметру.
С л е д с т в и е 2. Любой диаметр нецентральной линии имеет асимптотическое направление.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имея условие нецентральной линии и координаты направляющего вектора диаметра, несложно проверить, что. Тогда получим, то есть направлениедиаметра нецентральной линии является асимптотическим.
С л е д с т в и е 3. Парабола нецентральная линия. Её диаметры параллельны асимптотическому направлению – оси параболы.
С л е д с т в и е 4. Любая пара параллельных прямых имеет единственный диаметр – прямую центров.
Т е о р е м а (о диаметрах центральной линии). Если диаметр является множеством хорд, параллельных диаметру, тоявляется множеством середин хорд, параллельных диаметру.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнения диаметров , сопряженных направлениям векторови соответственно имеют вид
,
.
Из условия параллельности вектора диаметру
получим, что
,
то есть выполняется условие параллельности вектора диаметру.
О п р е д е л е н и е. Два диаметра центральной линии второго порядка называются сопряженными диаметрами, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.
Пусть – диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению. Направление вектора, параллельного диаметру, называется сопряженным направлению. Имеемусловие сопряженности двух направлений
§20. Главные направления, главные диаметры
О п р е д е л е н и е. Направление называется главным направлением относительно линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным ему направлением.
Т е о р е м а. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существуют два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Записав условие сопряженности для ортогональных направлений и, получим условие
, ()
которое позволяет найти главные направления и определить их число.
I. Пусть в () . Тогда(в противном случае получим). Из () получаем квадратное уравнение с неизвестным . Это уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант больше нуля. Следовательно, в этом случае относительно линии второго порядка существуют ровно два главных направления.
II. Если в () , то получаем. Имеем два главных направленияи– направления координатных осей.
III. Если в (), то есть () является тождеством, то любое направление является главным относительно линии второго порядка. В этом случае уравнение линии приводится к каноническому уравнению . То есть линия является окружностью (вещественного, нулевого или мнимого радиуса).
О п р е д е л е н и е. Диаметр линии второго порядка называется главным диаметром, если он перпендикулярен сопряженным хордам.
Таким образом, главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка.
Из следствия о диаметрах нецентральной линии следует, что нецентральная линия имеет только один главный диаметр – ось симметрии асимптотического направления.