18. Задача линейного программирования. Понятия допустимого и оптимального плана.

Наиболее разработанными являются методы решения задач линейного программирования¹. В общем виде задача линейного программирования заключается следующем: найти значения переменных х1, х2, …, хn, доставляющие оптимальное значение целевой функции:

F=c1x1+c2x2+ ... +сnхnmin (max) (9.3)

при выполнении ограничений:

а11х1+а12х2+ …+а1nхn{, =, }b1

а21 х1+а22х2+ …+а2nхn{, =, }b2

……… (9.4)

аm1х1+аm2x2+ …+аmnхn{, =, }bm

xj>=0, (i=1…n) (9.5)

где аij, bi , cj –заданные постоянные величины, m – число уравнений, n – число переменных.

Ограничения (9.5) с математической точки зрения являются необязательными, но в моделях экономических задач они, как правило, всегда присутствуют. Это связано с экономическим смыслом переменных х1, х2, …, хn. Например, если под xi понимается количество продукции вида i, которое необходимо выпускать на предприятии, то очевидно, что оно не может быть отрицательным.

Систему ограничений (9.4) называют функциональными ограничениями, а ограничения (9.5) – прямыми. Вместе ограничения (9.4) и (9.5) определяют область допустимых решений.

Набор значений переменных х1, х2,…,хn, при котором выполняются все ограничения, называется допустимым решением или планом. Допустимое решение, при котором функция F принимает оптимальное значение, называется оптимальным.

19. Дисконтирование денежных потоков. Анализ инвестиционных проектов.

Метод дисконтирования денежных потоков является ключевым в финансовом анализе. Рассмотрим этот метод на примере банковских депозитов. Обозначим:

P – начальный капитал, положенный в банк;

r – процентная ставка банка;

S – наращенная сумма.

Тогда в конце первого периода капитализации наращенная сумма составит:

.

Если эта сумма остается в банке, то в конце второго периода капитализации наращенная сумма составит:

.

В общем случае сумма, наращенная за n периодов капитализации, рассчитывается по формуле:

. (9.1)

В течение периода капитализации проценты могут начисляться несколько раз, тогда наращенная сумма будет увеличиваться.

На основании формулы (9.1) можно также найти, какой начальный капитал нужно положить в банк, чтобы наращенная за n периодов капитализации сумма составила заданную величину S. Такой начальный капитал называется текущей (приведенной) ценностью суммы S и обозначается PV: .

. (9.2)

Процесс нахождения текущей ценности называется дисконтированием.

Под инвестиционным проектом понимается любое вложение денег, генерирующее денежные потоки в будущем. Примерами инвестиционных проектов могут служить закупка производственного оборудования, вложение денег в банк под процент, приобретение ценных бумаг.

Рассмотрим проект, в который необходимо вложить сумму I0,, и он генерирует через n временных периодов (например, лет) прибыль С. Допустим, у инвестора имеется альтернатива: вложить деньги в проект или положить их на банковский депозит с процентной ставкой r. Тогда, чтобы получить ту же сумму, которая ожидается в качестве прибыли проекта, через такое же время, в банк следует положить

(9.3)

Эта величина называется текущей (приведенной) ценностью проекта и показывает, каким должно быть альтернативное вложение средств, чтобы получить через n временных периодов ту же сумму, которую дает проект.

Процентная ставка r, используемая при дисконтировании денежных потоков проекта, называется нормой дисконтирования. В качестве этой величины можно брать процентную ставку банка только в том случае, когда риск, связанный с проектом, и риск, связанный с банковским депозитом, одинаков. Обычно это не так, и в качестве нормы дисконтирования берут внутреннюю норму прибыли альтернативных проектов с таким же финансовым риском, как и у данного проекта.

Чистая текущая ценность проекта рассчитывается по формуле

(9.4)

и показывает, на сколько денежных единиц данный проект требует меньше начальных инвестиций, чем альтернативные вложения, при условии, что в конце рассматриваемого периода они генерируют одинаковую прибыль. Если чистая текущая ценность положительна, то деньги выгоднее инвестировать в проект, а если отрицательна – то выгоднее принять альтернативные предложения (например, положить деньги в банк).

1