4.1 Транспортная задача

Транспортная задача.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4	3	40
2	5	-	12	7	30
3	8	1	-	13	50
Потребности	10	20	40	60

Поскольку в матрице присутствуют запрещенные к размещению клетки, то для отыскания оптимального плана достаточно заменить их на максимальные тарифы (13 умноженное на 3).

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4	3	40
2	5	39	12	7	30
3	8	1	39	13	50
Потребности	10	20	40	60

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 40 + 30 + 50 = 120

∑b = 10 + 20 + 40 + 60 = 130

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 10 (130—120). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4	3	40
2	5	39	12	7	30
3	8	1	39	13	50
4	0	0	0	0	10
Потребности	10	20	40	60

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7	4	3[30]	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1[20]	39[30]	13	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 2*10 + 3*30 + 7*30 + 1*20 + 39*30 + 0*10 = 1510

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7	4	3[30]	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1[20]	39[30]	13	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 2*10 + 3*30 + 7*30 + 1*20 + 39*30 + 0*10 = 1510

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4	3[40]	40
2	5[10]	39	12	7[20]	30
3	8	1[20]	39[30]	13	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 3*40 + 5*10 + 7*20 + 1*20 + 39*30 + 0*10 = 1500

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4[40]	3	40
2	5[10]	39	12	7[20]	30
3	8	1[20]	39	13[30]	50
4	0	0	0	0[10]	10
Потребности	10	20	40	60

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 4*40 + 5*10 + 7*20 + 1*20 + 13*30 + 0*10 = 760

	1	2	3	4	Запасы
1	2	7	4	3[40]	40
2	5[10]	39	12	7[20]	30
3	8	1[20]	39[30]	13	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является вырожденным.

Строим новый план.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 3*40 + 5*10 + 7*20 + 1*20 + 39*30 + 0*10 = 1500

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7[20]	4	3[10]	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1	39[30]	13[20]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 2*10 + 7*20 + 3*10 + 7*30 + 39*30 + 13*20 + 0*10 = 1830

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 2; 0 + v₁ = 2; v₁ = 2

u₁ + v₂ = 7; 0 + v₂ = 7; v₂ = 7

u₁ + v₄ = 3; 0 + v₄ = 3; v₄ = 3

u₂ + v₄ = 7; 3 + u₂ = 7; u₂ = 4

u₃ + v₄ = 13; 3 + u₃ = 13; u₃ = 10

u₃ + v₃ = 39; 10 + v₃ = 39; v₃ = 29

u₄ + v₃ = 0; 29 + u₄ = 0; u₄ = -29

	v1=2	v2=7	v3=29	v4=3
u1=0	2[10]	7[20]	4	3[10]
u2=4	5	39	12	7[30]
u3=10	8	1	39[30]	13[20]
u4=-29	0	0	0[10]	0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(1;3): 0 + 29 > 4; ∆₁₃ = 0 + 29 - 4 = 25

(2;1): 4 + 2 > 5; ∆₂₁ = 4 + 2 - 5 = 1

(2;3): 4 + 29 > 12; ∆₂₃ = 4 + 29 - 12 = 21

(3;1): 10 + 2 > 8; ∆₃₁ = 10 + 2 - 8 = 4

(3;2): 10 + 7 > 1; ∆₃₂ = 10 + 7 - 1 = 16

max(25,1,21,4,16) = 25

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 4

Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7[20]	4[+]	3[10][-]	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1	39[30][-]	13[20][+]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Цикл приведен в таблице (1,3 → 1,4 → 3,4 → 3,3).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 4) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7[20]	4[10]	3	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1	39[20]	13[30]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 2; 0 + v₁ = 2; v₁ = 2

u₁ + v₂ = 7; 0 + v₂ = 7; v₂ = 7

u₁ + v₃ = 4; 0 + v₃ = 4; v₃ = 4

u₃ + v₃ = 39; 4 + u₃ = 39; u₃ = 35

u₃ + v₄ = 13; 35 + v₄ = 13; v₄ = -22

u₂ + v₄ = 7; -22 + u₂ = 7; u₂ = 29

u₄ + v₃ = 0; 4 + u₄ = 0; u₄ = -4

	v1=2	v2=7	v3=4	v4=-22
u1=0	2[10]	7[20]	4[10]	3
u2=29	5	39	12	7[30]
u3=35	8	1	39[20]	13[30]
u4=-4	0	0	0[10]	0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(2;1): 29 + 2 > 5; ∆₂₁ = 29 + 2 - 5 = 26

(2;3): 29 + 4 > 12; ∆₂₃ = 29 + 4 - 12 = 21

(3;1): 35 + 2 > 8; ∆₃₁ = 35 + 2 - 8 = 29

(3;2): 35 + 7 > 1; ∆₃₂ = 35 + 7 - 1 = 41

(4;2): -4 + 7 > 0; ∆₄₂ = -4 + 7 - 0 = 3

max(26,21,29,41,3) = 41

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 1

Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7[20][-]	4[10][+]	3	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1[+]	39[20][-]	13[30]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Цикл приведен в таблице (3,2 → 3,3 → 1,3 → 1,2).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	2[10]	7	4[30]	3	40
2	5	39	12	7[30]	30
3	8	1[20]	39[0]	13[30]	50
4	0	0	0[10]	0	10
Потребности	10	20	40	60

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 2; 0 + v₁ = 2; v₁ = 2

u₁ + v₃ = 4; 0 + v₃ = 4; v₃ = 4

u₃ + v₃ = 39; 4 + u₃ = 39; u₃ = 35

u₃ + v₂ = 1; 35 + v₂ = 1; v₂ = -34

u₃ + v₄ = 13; 35 + v₄ = 13; v₄ = -22

u₂ + v₄ = 7; -22 + u₂ = 7; u₂ = 29

u₄ + v₃ = 0; 4 + u₄ = 0; u₄ = -4

	v1=2	v2=-34	v3=4	v4=-22
u1=0	2[10]	7	4[30]	3
u2=29	5	39	12	7[30]
u3=35	8	1[20]	39[0]	13[30]
u4=-4	0	0	0[10]	0