sem_operator1

Семестровая по линейным операторам Вариант 1

1. Найти координаты вектора x = (6; ¡1; 3) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 2e3;

> e02 = 2e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4x3; ¡3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; x2 + 2x3);

Bx = (6 ¡ 5x2 ¡ 4x3; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; x2 + 2); Cx = (x33; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; x2 + 2x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти ABx.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость y ¡ z = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 2

1. Найти координаты вектора x = (1; 2; 4) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 3e3;

> e02 = 3=2e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; x2 + 2); Bx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 0; x42 + 2x3);

Cx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; x2 + 2x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти A2x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5. Доказать линейность, найти матрицу, область значений иpÿдро оператора проектирования на плоскость y = 3x.

6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 3

1. Найти координаты вектора x = (1; 3; 6) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 4e3;

> e02 = 4=3e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x1 + 2x42 + 3x3); Bx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x1 + 2x2 + 3x3);

Cx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x1 + 2x2 + 3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 ¡ B)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость Oyz.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 4

1. Найти координаты вектора x = (2; 4; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 3=2e3;

> e02 = 3e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (3x1 + 2x2 + x3; x3; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4x3);

Bx = (3x1 + 2x2 + x3; 1; 2x1 ¡ 3x2 ¡ 4); Cx = (3x1 + 2x2 + x3; x3; 2x41 ¡ 3x2 ¡ 4x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B4x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости x ¡ z = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Семестровая по линейным операторам Вариант 5

1. Найти координаты вектора x = (6; 3; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 4=3e3;

> e02 = 4e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (x1; x1 ¡ 2x2 ¡ 3; 4x1 ¡ 5x2 ¡ 6);

Bx = (x1; x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3; 4x41 ¡ 5x2 ¡ 6x3); Cx = (x1; x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3; 4x1 ¡ 5x2 ¡ 6x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B2x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости Oxy.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 6

1. Найти координаты вектора x = (1; 4; 8) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 5e3;

> e02 = 5=4e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (2x1 + x2; x2 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x22 ¡ 5x3); Bx = (2x1 + x2; x2 ¡ 2x3; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5x3);

Cx = (2x1 + x2; x2 ¡ 2; 3x1 ¡ 4x2 ¡ 5):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (2A + 3B2)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора поворота относительно оси Ox íà óãîë ¼=2 в положительном направлении.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 7

1. Найти координаты вектора x = (8; 4; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 5=4e3;

> e02 = 5e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (x1; x1 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6x3);

Bx = (x1; x1 + 2x2 + 3; 4x1 + 5x2 + 6);

Cx = (x1; x1 + 2x2 + 3x3; 4x41 + 5x2 + 6x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 + B2)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость x ¡ y = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 8

1. Найти координаты вектора x = (2; 5; 10) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 6e3;

> e02 = 6=5e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 1; x1 + 2x2 + 3); Bx = (3x1 + 2x2 ¡ x3; 0; x31 + 2x2 + 3x3); Cx = (3x1 + 2x2 ¡ x3; x3; x1 + 2x2 + 3x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (B2 + A)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость y + z = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 9

1. Найти координаты вектора x = (10; 5; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 6=5e3;

> e02 = 6e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (2x1 ¡ x2; x3; x1 + 2x2 + 3x43);

Bx = (2x1 ¡ x2; x3; x1 + 2x2 + 3x3); Cx = (2x1 ¡ x2; 1; x1 + 2x2 + 3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти BAx.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости x + y = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 10

1. Найти координаты вектора x = (1; 6; 12) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 7e3;

> e02 = 7=6e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (x3; 2x1 + 3x2 + 4x3; 5x1 + 6x2 + 7x3);

Bx = (x3; 2x1 + 3x2 + 4; 5x1 + 6x2 + 7); Cx = (x3; 0; 5x41 + 6x2 + 7x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B(2A ¡ B)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости y ¡ z = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 11

1. Найти координаты вектора x = (¡12; 6; 1) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 7=6e3;

> e02 = 7e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4x3; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 0);

Bx = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 0); Cx = (6x1 ¡ 5x2 ¡ 4x3; 3x1 ¡ 2x2 ¡ x33; 0):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти A(2B ¡ A)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость x + y = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Семестровая по линейным операторам Вариант 12

1. Найти координаты вектора x = (¡1; 7; 14) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 8e3;

> e02 = 8=7e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3; 2x1 ¡ x2; x23);

Bx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; 1);

Cx = (5x1 ¡ 4x2 ¡ 3x3; 2x1 ¡ x2; x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти 2(AB + 2A)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость x ¡ z = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Семестровая по линейным операторам Вариант 13

1. Найти координаты вектора x = (¡3; 2; 4) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 ¡ e3;

> e02 = 1=2e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x21; x2 + 2x3);

Bx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2x3; x1; x2 + 2x3); : Cx = (4x1 ¡ 3x2 ¡ 2; x1; x2 + 2):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A ¡ B)2x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора зеркального отражения относительно плоскости x + z = 0.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Семестровая по линейным операторам Вариант 14

1. Найти координаты вектора x = (2; 4; 3) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 1=2e3;

> e02 = ¡e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (3x1 + 2x2 + x3; 0; x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3);

Bx = (3x1 + 2x2 + 1; 0; x1 ¡ 2x2 ¡ 3); : Cx = (3x1 + 2x2 + x3; 0; x21 ¡ 2x2 ¡ 3x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (B ¡ 2A2)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол ¼=2.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Семестровая по линейным операторам Вариант 17

1. Найти координаты вектора x = (1; ¡4; 8) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 ¡ 3e3;

> e02 = 3=4e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (x1; x2 + 2x3; 3x1 + 4x2 + 5x3);

Bx = (x1; x2 + 2x3; 3x1 + 4x2 + 5); :

Cx = (x1; x22 + 2x3; 3x1 + 4x2 + 5x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 + B)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

Семестровая по линейным операторам Вариант 18

1. Найти координаты вектора x = (1; 4; ¡8) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 ¡ 3e3;

> e02 = 3=4e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (3x1 ¡ 2x2 ¡ 1; 0; x1 + 2x2 + 3x3); Bx = (3x21 ¡ 2x2 ¡ x3; 0; 0); : Cx = (3x1 ¡ 2x2 ¡ x3; 0; x1 + 2x2 + 3x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (A2 ¡ B2)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5.Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол ¼=4.

6.Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 19

1. Найти координаты вектора x = (7; ¡5; 10) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 ¡ 4e3;

> e02 = 4=5e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (2x21 ¡ x2; x3; 2x2 + 3x3);

Bx = (2x1 ¡ x2; x3; 2x2 + 3x3); : Cx = (2x1 ¡ x2; x3; 2x2 + 3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти (2B ¡ A2)x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå

5. Доказать линейность, найти матрицу, область значений иpÿдро оператора проектирования на плоскость y + 3z = 0.

6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

01

Семестровая по линейным операторам Вариант 20

1. Найти координаты вектора x = (5; ¡5; ¡4) в базисе (e01; e02; e03), если он задан в базисе (e1; e2; e3).

8

>< e01 = e1 + e2 + 4=5e3;

> e02 = ¡4e1 ¡ e2;

: e03 = ¡e1 + e2 + e3:

. 2. Пусть x = (x1; x2; x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax = (0; x1 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6x3);

Bx = (0; x1 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6); : Cx = (0; x21 + 2x2 + 3x3; 4x1 + 5x2 + 6x3):

3. Пусть x = (x1; x2; x3), Ax = (x2 ¡ x3; x1; x1 + x3), Bx = (x2; 2x3; x1). Найти B3x.

4. Найти матрицу линейного оператора Á â áàçè-

ñå (e01; e02; e03), если она задана в базисе (e1; e2; e3), ãäå