алгебра и геометрия 2010
.docxАлгебра и геометрия
Вариант 11
-
а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевыми угловыми элементами с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с нулевой суммой первой и последней координаты. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и x заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
е1 = (1,3,0,5) v1 = (1,0,0,1)
e2 = (0,2,0,2) v2 = (0,1,0,0)
e3 = (1,2,2,3) v3 = (0,0,1,0)
e4 = (0,0,0,1) v4 = (0,0,0,1)
x=(-i, i, i+1,0)
Алгебра и геометрия
Вариант 12
-
а) Доказать, что все многочлены из , так что образуют относительно обычного сложения и умножения на числа из векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с одинаковыми нечетными координатами и одинаковыми четными координатами. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (1,3,0,5) v1 = (1,0,0,1)
e2 = (0,2,0,2) v2 = (0,1,0,0)
e3 = (1,2,2,3) v3 = (0,0,1,1)
e4 = (0,0,0,1) v4 = (0,0,0,1)
x=(-i, 2+i, i, 1)
Алгебра и геометрия
Вариант 13
-
а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевой суммой крайних элементов (то есть элементов, стоящих в первой и последней строке и первом и последнем столбце) является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с нулевой суммой всех координат. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (1,0,2,1) v1 = (1,3,0,5)
e2 = (0,2,0,2) v2 = (0,1,0,2)
e3 = (3,1,4,5) v3 = (1,2,1,3)
e4 = (1,0,0,0) v4 = (0,0,0,1)
x=(i+1, i-1, 1, i)
Алгебра и геометрия
Вариант 14
-
а) Доказать, что множество квадратных матриц с действительными элементами и нулевой суммой крайних элементов (то есть элементов, стоящих в первой и последней строке и первом и последнем столбце) является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с нулевой суммой всех координат. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (2,3,0,5) v1 = (1,0,0,1)
e2 = (0,2,0,2) v2 = (0,1,0,1)
e3 = (1,2,1,3) v3 = (0,0,1,1)
e4 = (0,0,0,1) v4 = (0,0,0,1)
x=(i, 2+ i, 2i, 0)
Алгебра и геометрия
Вариант 15
-
а) Доказать, что множество всех нижнетреугольных матриц с действительными элементами и обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых последняя координата равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (1,1,1,1) v1 = (0,1,1,1)
e2 = (1,1,-1,-1) v2 = (1,0,1,1)
e3 = (1,-1,1,-1) v3 = (1,1,0,1)
e4 = (1,-1,-1,1) v4 = (1,1,1,0)
x=(i, - i, 1, 2i)
Алгебра и геометрия
Вариант 16
-
а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, имеющих одинаковые числа на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма координат которых, равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (3,3,-4,-3) v1 = (1,0,0,0)
e2 = (0,6,1,-1) v2 = (0,1,0,0)
e3 = (5,4,2,1) v3 = (0,0,1,0)
e4 = (2,3,3,1) v4 = (0,0,0,1)
x=(i, - i, 1, 2i)
Алгебра и геометрия
Вариант 17
-
а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, и нулевой суммой элементов, стоящих на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма нечетных координат которых, равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (1,3,0,5) v1 = (1,1,1,1)
e2 = (0,1,0,2) v2 = (0,1,1,1)
e3 = (1,2,1,3) v3 = (0,0,1,1)
e4 = (0,0,0,1) v4 = (0,0,0,1)
x=(i, -2i, 3+i, 1)
Алгебра и геометрия
Вариант 18
-
а) Доказать, что все многочлены с действительными коэффициентами степени , имеющие корень 0 относительно обычного сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма первой и последней координат которых равна 0. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (0,1,1,1) v1 = (1,0,0,0)
e2 = (1,0,1,1) v2 = (0,1,1,1)
e3 = (1,1,0,1) v3 = (0,0,1,0)
e4 = (1,1,1,0) v4 = (0,0,0,1)
x=(-i, 3i, 2-i, 1)
Алгебра и геометрия
Вариант 19
-
а) Доказать, что множество квадратных матриц из , так что , если нечетно, с обычными операциями сложения и умножения на числа является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых координаты с четными номерами одинаковы. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (1,i,0,-1) v1 = (i,-i,1,1)
e2 = (i,-1,1,-i) v2 = (1,i,i,1)
e3 = (1,-i,1+i,1) v3 = (1+i,0,1,i)
e4 = (0,i,1,1) v4 = (0,i,-i,1)
x=(i, 1, -i, 1) i-номер варианта
Алгебра и геометрия
Вариант 20
-
а) Доказать, что все многочлены степени над , не содержащие четных степеней x относительно обычных операций сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк с нулевой суммой первой и предпоследней координат. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
e1 = (1,0,0,0) v1 = (0,0,0,-1)
e2 = (0,0,1,0) v2 = (0,0,2,0)
e3 = (0,0,0,1) v3 = (1,0,0,0)
e4 = (0,1,0,0) v4 = (0,3,0,0)
x=(-i, 1+i, 1-i, 2)
Алгебра и геометрия
Вариант 1
-
а) Доказать, что множество матриц, у которых первая и последняя строка одинаковы, с обычными операциями сложения и умножения на числа является векторным пространством над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых сумма первых двух и последних двух координат равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и x заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
= (1,i,0,-1) =(i,-i,1,1)
= (i,-1,1,-i) =(1,i,i,1)
= (1,-i,1+i,1) =(1+i,0,1,i)
= (0, i, 1, 1) =(0,i,-i,1)
= (i, 1, -i, 1)
Алгебра и геометрия
Вариант 2
-
а) Доказать, что множество симметричных квадратных матриц с вещественными элементами с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых координаты с нечетными номерами одинаковы. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
= (1,1,1,1) =(1,0,0,0)
= (0,1,1,1) =(0,1,0,0)
= (0,0,1,1) =(0,0,1,0)
= (0,0,0,1) =(0,0,0,1)
= (1, i, 2, 1+i)
Алгебра и геометрия
Вариант 3
-
а) Доказать, что множество кососимметричных вещественных квадратных матриц с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых все четные координаты равны нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
=(1,2,3,4) =(1,1,1,1)
=(2,3,1,2) =(0,1,1,1)
=(1,1,1,-1) =(0,0,1,1)
=(1,0,-2,-6) =(0,0,0,1)
=(i, 1, 2i, 1+i)
Алгебра и геометрия
Вариант 4
-
а) Доказать, что множество всех верхнетреугольных матриц с действительными элементами и обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, у которых все нечетные координаты равны нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
=(1,1,0,0) =(1,1,1,1)
=(0,1,1,0) =(0,1,1,1)
=(0,0,1,1) =(0,0,1,1)
=(0,0,0,1) =(0,0,0,1)
=(i, -1, 1, 2+i)
Алгебра и геометрия
Вариант 5
-
а) Доказать, что множество всех многочленов f степени ≤ n с коэффициентами из , для которых 2f(0) = f(1) относительно обычных операций сложения и умножения на числа, образуют векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, с двумя одинаковыми последними координатами. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.
=(1,2,3,4) =(1,1,1,1)
=(0,1,2,3) =(0,1,1,1)
=(0,0,1,2) =(0,0,1,1)
=(0,0,0,1) =(0,0,0,1)
=(1, 2+i, -i, 0)
Алгебра и геометрия
Вариант 6
-
а) Доказать, что множество всех квадратных матриц с действительными элементами, имеющих одинаковые числа на главной диагонали с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторное пространство над ; б) найти его базис и размерность.
-
Пусть – подмножество в , состоящее из строк, сумма четных координат которых, равна нулю. а) Доказать, что – подпространство в ; б) указать систему линейных уравнений, определяющую ; с) найти базу и размерность подпространства .
-
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе пространства . Доказать, что каждая из этих двух систем является базисом в . Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты вектора в обоих базисах.