MathSatistika

1

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

Математическая статистика (МС) – раздел прикладной математики, который, основываясь на положении теории вероятностей, разрабатывает методы сбора, анализа и обработки результатов эксперимента.

МС называют наукой об общих способах обработки результатов эксперимента.

Вбиологических, медицинских и других исследованиях обычно имеют дело с определѐнным множеством объектов, отличающихся друг от друга и в тоже время имеющих некоторые сходные существенные признаки, которые изменяются (варьируют) от объекта к объекту и которые являются объектом измерений.

Врезультате эксперимента получают множество значений измеряемой величины

(признака). Его называют простой статистической совокупностью (СС) или простым

статистическим рядом, а каждое значение измеряемого признака – вариантой ( xi ).

Измеряемые признаки подразделяют на дискретные и непрерывные.

Дискретные признаки могут принимать лишь определенные значения из некоторого ряда чисел, например, число подтягиваний спортсмена на перекладине, число дней пропущенных занятий заболевшим студентом, число попаданий и промахов при серии выстрелов и т.п.

Непрерывные признаки могут принимать любые значения в определѐнном интервале. Например, время прохождения 100 – метровой дистанции студентами, значение ар-

Сумма частот всех вариант выборки составляет еѐ объѐм:

k – количество, отличающихся по значению, вариант.

Выборка должна быть репрезентативной, т.е. представительной (достаточно полно отражать свойства ГС, из которой она извлечена).

Статическое представление результатов эксперимента. I. Табличный способ. Вариационные ряды.

Как правило, первичные экспериментальные результаты представляют собой неупорядоченный набор чисел, записанных исследователем в порядке их получения. Это, как отмечалось выше, простой статистический ряд.

Ранжирование – расположения вариант в порядке возрастания (или убывания) и подсчета частот каждого нового значения варианты.

В результате получают ранжированный вариационный ряд. Это двойной числовой ряд, в котором указаны все отличающиеся значения вариант и их повторяемость (частоты).

2

Вариационные ряды бывают дискретные (для дискретных признаков) и интервальные (для непрерывных признаков).

Дискретный вариационный ранжированный ряд.

Для статистического представления большого числа измерений непрерывной СВ используют интервальный статистический ряд. Для этого все результаты измерений разбивают на определѐнное количество малых интервалов определѐнной ширины x (лучше одинаковой для всех интервалов) и подсчитывают число вариант, попадающих в

II. Графическое представление экспериментальных результатов.

Для повышения наглядности эмпирических вариационных рядов используют их графическое представление. Графиком дискретного ряда является полигон. Различают полигон частот и относительных частот. Полигон представляет собой ломаную линию, вер-

Рис.8.2.

Интервальный ряд графически представляют гистограммой частот mi или ги-

стограммой относительных частот P*i .

Гистограмма частот представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых являются интервалы ширины x интервалов, а

3

ная сумме площадей всех прямоугольников, представляет собой сумму частот всех малых интервалов mi , т.е. объѐм выборки. На гистограмме относительных частот основание отдельного прямоугольника xi равно ширине интервала, а высота – плотности относи-

тельной частоте соответствующего интервала. Площадь всей гистограммы равна сумме относительных частот всех интервалов, т.е. равна 1:

Числовые характеристики выборки.

I. Характеристики положения. Эти характеристики определяют положение центра эмпирического распределения. К ним относят среднее арифметическое x , медиану Ме и моду Мо.

Среднее арифметическое, или просто среднее, представляет собой такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).

Простая средняя арифметическая находится, если каждая варианта в выборке встречается один раз, т.е. все mi 1. Вычисляется x по формуле:

кретным результатам измерений, когда хотя бы одна варианта в выборке встречается неоднократно, т.е. имеет частоту больше единицы:

Если результаты измерений в эксперименте сгруппированы в интервальный ряд, то под xi понимают средние значения величины в каждом интервале.

Медианой Ме выборки называют варианту, которая делит ранжированную выборку на две равных по числу членов части. При этом все члены по одну сторону от медианы больше, а по другую – меньше медианы.

При n -нечетном медианой будет являться варианта, занимающая серединное значение в выборке, т.е. стоящая посредине выборки:

Модой Мо выборки называют наиболее вероятное значение варианты, т.е. значение варианты, частота которой наибольшая.

В случае интервального ряда при симметричном распределении результатов Мо равна среднему арифметическому модального интервала – интервала с наибольшей частотой.

II.Характеристики рассеяния

Размах вариации R.

Размах вариации вычисляется как разность между максимальной и минимальной вариантами выборки:

ний признака xi от его среднего арифметического xВ . Выборочную дисперсию вычисляют по следующим формулам:

для выборки объемом n , в которой все варианты имеют различные значения xi :

1n

В2 n (xi xВ )2 ,

i1

для выборки, представленной интервальным вариационным рядом:

где xi - средние арифметические отдельных интервалов.

На практике дисперсию нередко удобнее вычислять по формуле:

В2 xi2 (xB )2 ,

xВ 6,7 В 2 означает большой разброс вариант, а для xВ 100 значение В 2 указывает на высокую степень одинаковости вариант, на их очень плотное распределение

тие относительно среднего отклонения, которое и называют коэффициентом вариации

наблюдений. Принято считать, что если V не превышает 10%, выборку можно считать однородной, т.е. полученной из одной генеральной совокупности.

Коэффициент вариации применяется в основном для сравнения выборок из однотипных генеральных совокупностей.