Параграф 1_Поточечная сх_фп_и_фр

Тема 3. Функциональные последовательности и ряды

§ 1. Поточечная (простая )сходимость функциональных последовательностей и

функциональных рядов

Пусть все функции f_n(x), n  , определены на множестве X  R и пусть x_ R .

f_n : D _n  R , , .

Определение. Если числовая последовательность  , сходится, то говорят, что последовательность функций  , сходится в точке x_  X .

Определение. Последовательность функций  , сходится на множестве

E  X , если  , сходится в каждой точке этого множества.

Такую сходимость на множестве Е называют п о т о ч е ч н о й.

Множество E  X точек, в которых последовательность  , сходится называют множеством сходимости последовательности  .

Пусть на множестве E сходимости последовательности  , определена функция f : E  R , значение которой в любой точке x  E равно пределу последовательности .

Функцию f (x) называют предельной функцией последовательности ,

или пределом последовательности функций  и пишут

при

или

при .

По определению предела для любого найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство

,

которое можно записать в виде

.

Пример 1. Функциональная последовательность R .

Пример 2. Функциональная последовательность .

Пример 3. Функциональная последовательность

Пусть  - функциональная последовательность, определённая на множестве

X  R.

f_n : D _n  R , , .

Определение. Формальная б е с к о н е ч н а я сумма вида

f₁ (x) + f₂ (x) + …+ f_n (x) + …

называется функциональным рядом, определённым на множестве X  R и

обозначается или просто .

Фиксируя какое-либо значение x_  X получаем обычный числовой ряд .

Определение. Если при фиксированном x_  X числовой ряд

сходится, то говорят, что функциональный ряд

сходится в точке x_  X .

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве

E  X , если он сходится в каждой точке этого множества.

Такую сходимость на множестве Е называют п о т о ч е ч н о й.

Множество E  X точек, в которых функциональный ряд

сходится , называют множеством сходимости функционального ряда .

Область сходимости может иметь довольно сложную структуру.

В конкретных ситуациях область сходимости может совпадать с областью определения,

область сходимости может быть частью области определения, а может вообще быть

пустым множеством.

Пусть на множестве E сходимости функционального ряда определена функция S_n (x) = f₁ (x ) + f₂ (x) + …+ f_n (x),

(),

которую называют n - ой частичной суммой функционального ряда.

Каждый функциональный ряд является парой двух функциональных

последовательностей  и  , между которыми устанавливается

взаимно однозначное соответствие: .

Поэтому каждое свойство функциональных последовательностей перефразируется в некоторое свойство функциональных рядов.

Определение. Функциональный ряд сходится на множестве

E  X , если он функциональная последовательность  сходится на множестве E  X .

Определение. Если функциональная последовательность  сходится и

S ( x) - её п р е д е л ь н а я ф у н к ц и я, то S ( x) называют суммой функционального ряда .

Функция S ( x) определена на множестве E  области сходимости функционального ряда .

Важно знать какими свойствами обладает функция S ( x).

Главные среди этих свойств : непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость.

Пример 4. Функциональный ряд , X = (1; 1).

Остаток сходящегося функционального ряда r_n ( x), , представляет собой некоторую функцию . при в любой точке x  E.

Многие свойства суммы S ( x) связаны с поведением остатка r_n ( x).

§ 2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов.

§ 3. Критерии равномерной сходимости функциональных последовательностей и

функциональных рядов.

3.1. Критерий равномерной сходимости функциональных последовательностей и

функциональных рядов.

3.2. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и

функциональных рядов.