Оглавление

Введение

Существование и развитие современной экономики немыслимо без использования разнообразных математических методов, одним из которых является вероятностно-статистический метод исследования. Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики, а, именно, страхового и военного дела.

Теория вероятностей занимается изучением случайных событий и явлений, под которыми понимаются такие, результат которых нельзя предсказать заранее.

В настоящем методическом пособии собраны основные понятия и факты курса теории вероятностей. Также пособие содержит решение типовых примеров и упражнения по основным разделам курса теории вероятностей для студентов экономического факультета.

В методическом пособии приняты следующие сокращения:

ПЭИ – пространство элементарных исходов;

ФПВ – формула полной вероятности;

с.в. – случайная величина;

ф.р. – функция распределения;

п.в. – плотность вероятностей;

ЗБЧ – закон больших чисел;

ЦПТ – центральная предельная теорема.

Основные определения и понятия теории вероятностей

В теории вероятностей первичным понятием, не определяемым через другие, является понятие пространства элементарных исходов ,состоящего из элементарных исходов w.

Элементарные исходы соответствуют единственно возможным не­разложимым результатам эксперимента.

Упражнение. 1. Опишите пространства элементарных исходов, со­ответствующие : а) подбрасыванию монеты: б) подбрасыванию двух монет в) подбрасыванию игральной кости: г) подбрасыванию двух играль­ных костей.

Определение 1. Событием называется произвольное подмножество пространства Ω. Если А - событие, то элементы А называют элементарными исходами, благоприятствующими появлению А. Говорят, что событие А происходит, если в результате эксперимента, осуществляется элементар­ный исхода wA, т.е. благоприятствующий А.

Сумма, произведение и разность событий определяются соответственно как объединение, пересечение и разность соответствующих множеств элементарных исходов, Ω называют достоверным событием, а Ø невозможным.

Определение 2. События А и В называются несовмеcтными, если A∩B=Ø

Определение 3. События А и Ā называются противоположными, если Ā =Ω\A или AĀ =Ω, а A∩Ā=Ø

Определение 4. Говорят, что события H₁,H₂,..,H_n образуют полную группу, если Н₁UН₂U,…,UН_n = Ω, а Н_i ∩H_j=Ø, для i≠j, i,j=1,2,..,n

Упражнение 2. Подбрасывается 3 монеты. Событие А состоит в выпадении двух "гербов", а событие В в выпадении не более двух "решек''. Определить сумму, произведение и, разность событий А и В.

Предположим, что N раз производится некоторый эксперимент и пусть N(А) раз произошло некоторое событие A. Тогда число W(A)= , называется относительной частотой появления события А.

Упражнение 3. Покажите, что относительная частота обладает следующими фундаментальными свойствами:

1. A, W(A)0

2. W()=1

3.Если AB =, то W(AB)=W(A)+W(B).

Во многих случаях, как показывает практика, относительные чаcтоты обладают статистической устойчивостью, которая заключается в том, что при больших N относительная частота W(A) лишь изредка будет отклоняться от некоторого среднего числа P(A), которое есте­ственно назвать вероятностью события А. Таким образом, P(A) ха­рактеризует среднюю относительную частоту появления A в большой серии экспериментов и является мерой возможности появления A. В рамках математической теории такое определение вероятности не является корректным. Поэтому существование вероятности постулируется с помощью аксиом, при этом, поскольку вероятность представляется нам как идеализированная относительная частота, ее фундаментальные свойства 1-3 должны выполняться для вероятности.

Приведем аксиоматику, предложенную А.Н. Колмогоровым. Пусть  - пространство элементарных исходов, F некоторая система под­множеств . Элементы F называются событиями. Каждому событию AF ставится в соответствие число P(A)_: называемое вероятностью события A, таким образом, чтобы выполнялись аксиомы:

I. Аксиома неотрицательности: Р(А) > О, AF

II.Аксиома нормированности: Р() = 1.

III.Аксиома аддитивности: Если А В=  Р(А U В)=P(A)+P(B)

Если  конечно или счетно, то  называется дискретным ПЭИ. В случае дискретного ПЭИ вероятность случайного события можно опре­делить следующим образом.

Определение 5. Каждому элементарному исходу , ставится в соответствии число p(w_i) > 0, называемое вероятностью элементарного ис­хода, так. что при этом

Вероятностью произвольного события А называется число

P(A) =

Рассмотрим важный частный случай. Пусть

1.={w₁,w₂,…,w_n} конечно.

2.Все исходы равновероятны p(w₁)=p(w₂)=…=p(w_n). Тогда, т.к., ,тоp(w_i)=1/n, i=1,2,..,n. Поэтому P(A)= = , где m - число элементарных исходов, содержащихся в А, т.е. благоприятствующих А. Приходим к так называемому классическому определению вероятности.

Определение 6. Если пространство элементарных исходов конечно и все исходы равновероятны, то вероятностью события А называется от­ношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению А. к числу всех возможных элементарных исходов.

Рассмотрим еще один важный случай.

Классическое определение вероятности нельзя применять к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. Однако, если результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области, при этом любые положения точек в этой области считаются равновероятными, то используют геометрическое определение вероятности. Суть его в следующем.

Пусть результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области G, причем любые положения точки в данной области равновероятны. Тогда множество точек области G будет представлять собой ПЭИ, а случайное событие А некоторое подмножество точек g из G . Назовем мерой области ее длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерном случае соответственно и будем обозначать символом mes т.е., например, mes G, mes g. Тогда по аналогии с классическим опреде­лением вероятности, вероятность события А в данном случае определя­ется равенством

Р(А) =

Такое определение вероятности случайного события называется геометрическим.

Определение 7. Условной вероятностью события В при условии А на­зывается число

P(B/A)=, P(A)0

Определение 8. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) =Р(А)Р(В).

Определение 9. События A₁,A₂,..,A_n называются попарно независимыми, если

P(A_iB_j)=P(A_i)P(Bj) для любых ij

Определение 10. События A₁,A₂,…,A_n называются независимыми в совокупности, если

P(A_iA_j) - Р( A_i)P(A_J ), при i≠j,

P(A_iA_j A_k)= Р( A_i)P(A_J )P(A_k), при i≠j, j≠k, i≠k

P(A₁,A₂,…,A_n )= P(А₁)P(А₂)…. Р( A_n)

Упражнение 4.Покажите, что если А и В независимы, то А и В тоже независимы.

Упражнение 5. Покажите, что если Р(А) / О, то А и В незави­симы, тогда и только тогда, когда Р(В/А) — Р(В).

Под испытанием будем понимать некоторый эксперимент, исходами которого являются случайные события.

Предположим, что испытания повторяются многократно при неиз­менных условиях.

Определение 11. Повторные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в каждом испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытании.

Определение 12. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если в каждом из них возможны только два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Обозначим эти исходы У и Н и назовем успехом и неудачей. Пусть Р(У)=p, Р(Н)= q, тогда р + q=1. Предположим, что мы провидим n независимых испытаний Бернулли. Тогда ПЭИ, соответствующее сложному эксперименту, состоящему из n испытаний, будет иметь вид:

Ω={w_i/w_i=(x_i,x_2,…,x_n)} где х₃ = У или Н, j = {1, 2,…, n}. В силу независимости испытаний вероятность элементарного исхода:

P(w)=p(x₁)p(x₂)…p(x_n)=p^kp^n-k

где k - число У в n испытаниях Бернулли. Пусть Ω - дискретное ПЭИ.

Определение 13. Действительная функция ξ=ξ(w), определенная на Ω называется случайной величиной.

В общем случае под с.в. будем понимать действительную функцию ξ=ξ(w), определенную на ПЭИ Ω и такую, что для любого действи­тельного х выражение {ξ(w)<x}, является событием.

Таким образом, областью определения с.в. ξ является Ω, а областью значении множество действительных чисел. Любое

правило, позволяю­щее находить вероятности событий, связанных со сл.в. ξ будем называть законом распределения данной с.в.

Определение 14. Функция F(x)=F_ξ(x)=P_ξ{ξ(w)<x} называется функцией распределения с.в. ξ

Очевидно, ф.р. с.в. ξ является законом распределения с.в. ξ.

Упражнение 6. Покажите, что ф.р. облагает свойствами:

а)0 < F(x)< 1:

б)F(x) не убывает;

в)Р(a≤ξ<b) = F(b) - F(a).

Определение 15. С.в. множество значений которой конечно или счетно называется дискретной.

Определение 16. Таблица вида

ξ	X1	X2	…..
P	P1	P2	…..

Возможные значения с.в. ξ, а р_1, p₂…вероятности этих значений (т.е. p_i=P{ξ(w)=x_i}) называется рядом распределения сл.в. ξ.

Ряд распределения является законом распределения только дискрет­ных с.в.

Определение 17. Дискретная с.в ξ , принимающая целые неотрица­тельные значения k = 0. 1, 2,…, n называется имеющей биномиальное распределение с параметрами (n,p), (О ≤p≤1), если Р{p=k}=C_n^kp^kq^n-k , где й=1-p, (k=0,1,2,…n)

Определение 18. Говорят, что дискретная с.в. ξ , принимающая целые неотрицательные значения k=0, 1, 2,… имеет распределение Пуассона с параметром X > 0, если P{ξ=k}=(λ^k/k!)e^-λ

Пусть имеется N изделий, среди которых M бракованных. Нау­дачу выбирается n изделий. Тогда с.в. ξ число бракованных изде­лии среди n отобранных будет иметь гипергеометрическое распреде­ление. Очевидно с.в. ξ, принимает неотрицательные целые значения

K=0,1,2,…,min(n,M), при этом P{ξ=k}=(C_M^k c^n-k_N-M)/C_Nⁿ

Определение 19. Сл.в. ξ называется непрерывной, если существует неотрицательная функция p(х), такая, что для любого действительного

X ф.р. c.в. ξ может быть представлена виде:

при этом p(х) называют плотностью вероятности или плотностью распределения вероятностей.

Очевидно, множеством значений непрерывной сл.в является конеч­ный или бесконечный интервал.

Плотность вероятности является законом распределения годным лишь для непрерывных с. в.

Упражнение 8. Покажите, что =1

Определение 20. Говорят, что с.в. ξ имеет равномерное (прямоугольное) распределение на отрезке [a, b], если она имеет плотность:

1/b-a, если xє[ a,b]

P(x) =

0, если x [a,b]

Определение 21. Говорят, что с.в. ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром А > 0, если она имеет плотность:

λe^λx , x≥0

P(x) =

O , x<0

Определение 22. Говорят, что с.в. имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами (а,а²) (а>0), если она имеет плотность вероятности.

p(x)=

В частности, ξ имеет стандартное нормальное распределение, если она имеет нормальное распределение с параметрами (a,σ>0).

Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами (а, σ²}, то будем писать ξ ~ N(а, σ²).

Упражнение 9. Покажите, что если ξ ~ N(а, σ²), то ξ₀=, то будем писать ξ ~ N(а, σ²),

Определение 23. Вектор ξ(w) = (ξ₁(w), ξ₂(w),…,ξ_n(w)), где ξ₀=, i=1,2,…n - с.в.. называется случайным вектором или n мерной c.в..

Определение 24.

Функция F(x₁,x₂,..,x_n)=P{ξ₁(w)<x₁,x₂,..,ξ_n(w)<x_n}называется ф.р. случайного вектора (ф.p. случайного вектора или совместной функцией

распределения ξ₁,ξ₂,..,ξ_n

Определение 25. С.в. _{ξ1,ξ2,..,ξn}, называются независимыми, если для любых действительных чисел x₁,x₂,..,x_n

F_{ξ1,ξ2,..,ξn}(x₁,x₂,..,x_n)=F_ξ1(x₁)F_ξ2(x₂),..,F_ξn(x_n)

Определение 26. Математическим ожиданием или средним значением дискретной с.в, ξ с рядом распределения

ξ	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

называется число Мξ =

Если дискретная с.в. ξ принимает счетное число значений, то ма­тематическое ожидание с.в. ξ существует, если сумма произведении значении с.в. на их вероятности конечна.

Определение 27. Математическим ожиданием непрерывной с.в. ξ с плотностью вероятности р(х) называется число

Mξ=

пpи условии, что последний интеграл сходится абсолютно.

Если с.в. ξ принимает значения на конечном интервале [а,b], то

Mξ=

Определение 28. Начальным моментом k-го порядка с.в. ξ называ­ется число L_k = Mξ^k.

Определение 29. Центральным моментом k го порядка с.в. ξ называ­ется число С_k=M(ξ-Mξ)^k

Определение 30. Центральный момент второго порядка Dξ=M(ξ-Mξ)² называется дисперсией с.в. ξ.

Определение 31. Средним квадратическим (стандартным) отклонением называется число

σ_ξ =(Dξ)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение используются в ка­честве мер разброса значении с.в. ξ вокруг среднего значения Mξ.

Упражнение 10. Выведите формулу: Dξ — Mξ² — (Mξ)².

Определение 32. Ковариацией между с.в. ξ и η называется число cov (ξ , η) = М[(ξ – Мξ)(η - Mη)].

Упражнение 11. Выведите формулу: cov(ξ,η) — M(ξη)- MξMη.

Определение 33. Коэффициентом корреляции между с.в. ξ и η; называется число

=

Упражнение 12. Покажите, что если ξ и η - независимы, то они и некоррелuрованы, т .е. со v (ξ, η) =0.

Пусть (ξ и η) дискретные с.в., заданные рядами распределений

ξ	X1	X2	…		ξ	Y1	Y1	…
η	p1	p2	…		η	q1	q2	…

и совместным распределением

p_ij=P{ξ=x_i,η=y_j) (i,j=1,2,…)

Определение 34. Условным законом распределения дискретной с. в. ξ при условии, что ξ примет какое-то значение ξ = х_i называетется распределение с.в. η, определяемое отношением

P {η=y_j/ξ=x_i} =

Определение 35. Условным математическим ожиданием с.в. ξ при условии, что ξ = х_i называется число

Определение 36. Если (ξ, η) - непрерывный случайный вектор, то условной плотностью распределения при условии, что ξ=x, называется

где P_ξ,η(x,y) - совместная плотность вероятности с.в. ξ и η, а p_ξ(x) – плотность вероятности с.в. ξ.

Определение 37. Если (ξ,η)- непрерывный случайный вектор, то условным математическим ожиданием с.в. η при условии, что ξ=x называется число

Определение 38. Пусть ξ,η – с.в. f(ξ) = M(η/ξ, g(η) = M(ξ/η). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии η на ξ (прогноза η по ξ); Уравнение x=g(y) называется уравнением регрессии ξ от η.

Определение 39. Регрессия η на ξ называется линейной, если функция f(ξ) = aξ+b.