- •5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2 (16 часов)
- •1. Дифференцирование функций одной переменной
- •1.2. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение
- •Правила дифференцирования
- •Пример
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Пример
- •Решение
- •Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Теорема 1. Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Теорема 2. Производная функции, заданной неявно
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Вычисление дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Производные высших порядков
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Пример 4
- •Решение
- •Теорема. Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Определение
- •Теорема
- •Доказательство
- •Следствие
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •2. Исследование функций
- •Монотонные функции. Признаки монотонности
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Замечание 4
- •Замечание 5
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •2.2. Исследование функций и построение графиков
- •Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Пример 3
- •Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Определение 3
- •Теорема 3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Асимптоты графика функции.
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Теорема
- •Доказательство
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Пример
- •Решение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение
- •Теорема
- •Доказательство.
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 1
- •Теорема.
- •Доказательство
- •Определение 2
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Исследование функций с помощью производных высших порядков
- •Теорема
- •Доказательство
- •Пример
- •Решение
- •5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Часть 2 (12 часов)
lim Rn (x)= lim (f (x)−Tn (x))= f (x0 )−Tn (x0 )= 0 . |
|
x→x0 |
x→x0 |
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Можно доказать, что остаточный член Rn (x) при x → x0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем (x − x0 )n . Это записывается в следующем виде:
Rn (x)= ϑ((x − x0 )n ). Подобная форма записи остаточного члена формулы Тейлора называется остаточным членом в форме Пеано.
Используя форму Пеано для остаточного члена, можно записать формулу Тейлора в следующем виде.
f (x)= f (x0 )+ |
|
f '(x0 ) |
(x − x0 )+ |
f ''(x0 ) |
(x − x0 )2 +... ... + |
f '(n)(x0 ) |
(x − x0 )n +ϑ((x − x0 )n ). |
|||||||
|
1! |
2! |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
||||
Определение 2 |
f (x) |
n раз дифференцируема в некоторой окрестности Uδ(0) точки |
||||||||||||
Пусть функция |
||||||||||||||
x = 0 . Формула |
|
|
f '(0) |
|
|
f ''(0) |
|
f (n)(0) |
xn +ϑ(xn ), |
|||||
f (x)= f |
(0)+ |
|
x + |
x2 +... + |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1! |
|
2! |
|
n! |
|||||||
называется формулой Маклорена.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Из определения ясно, что формула Маклорена получится из формулы Тейлора, если положить x0 = 0 .
ЗАМЕЧАНИЕ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно |
|
|
доказать, |
что |
остаточный член |
формулы |
Тейлора имеет |
вид: |
|||
|
|
f |
(n+1)(θ) |
|
n+1 |
|
|
|
|
||
R (x) |
= |
|
|
|
(x − x ) |
, где x < θ < x . |
Такая форма |
записи остаточного |
члена |
||
(n +1)! |
|||||||||||
n |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Маклорена для основных элементарных функций
1. |
f (x)= ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
(n) |
|
x |
|
x x2 x3 |
|
xn |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= f |
|
(0)=1 , то e |
|
=1 + 1! + 2! + 3! +... + n! + ϑ(x |
|
). |
|||||||||||
|
Поскольку f (0)= f (0)=... |
|
|
|
||||||||||||||
2. |
f (x)= sin x . f (0)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как (sin x)(n) = sin(x + |
πn |
), |
то все производные четного порядка в точке |
x0 равны |
|||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||
нулю, а производные нечетного порядка равны ±1 , причем знаки чередуются. Поскольку
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(sin x) |
=1 > 0 , то есть перед первым членом в формуле знак +. |
|||||||||||||
= cos x , то f (0)= cos 0 |
||||||||||||||
Учитывая все это формулу Маклорена для заданной функции можно записать в виде: |
||||||||||||||
|
|
x |
x3 |
x5 |
|
|
x2n−1 |
|||||||
|
sin x = |
|
− |
|
+ |
|
−... + (− |
1)n+1 |
|
|
+ ϑ(x2n−1 ); |
|||
|
1! |
3! |
5! |
(2n −1)! |
||||||||||
3. f (x)= cos x |
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
||||
f (0)=1. Поскольку (cos x)(n) = cos(x + |
πn |
то |
f (2n+1)(0)= 0 , f (2n)(0)= ±1 для любых |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
значений n . При этом вторая производная f |
′′ |
|
|
|
||||||||||
(0)= −cos0 = −1 . Значит, все производные |
||||||||||||||
порядка 2n равны –1, а все производные порядка 4n равны 1. Формула Маклорена для функции f (x)= cos x имеет вид:
|
x2 |
x4 |
x6 |
|
x2n |
|||
cos x =1 − |
|
+ |
|
− |
|
+... + (−1)n |
|
+ ϑ(x2n ). |
2! |
4! |
6! |
(2n)! |
|||||
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|