решение задачи Коши имеет вид −ctg y = 4x − 4 или

x=1 − ctg4 y .

9.4.Линейные дифференциальные уравнения n–ого

порядка

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением n -ого порядка называется уравнение вида

a0 (x)y(n) + a1 (x)y(n−1) +K+ an (x)y = f (x),

где an (x), an−1 (x),..., a0 (x) и f (x) - непрерывные функции на

промежутке [a,b]; an (x)≠ 0 , x [a,b].

Замечание. Если в рассматриваемой области изменения независимого переменного a0 (x)≠ 0 , то, поделив уравнение на

a0 (x) и обозначив полученные коэффициенты и правую часть вновь a1 (x),K, an (x) , f (x), соответственно будем иметь

y(n) + a1 (x)y(n−1) +K+ an (x)y = f (x).

Таким образом, не умаляя общности можно считать a0 (x)≡1.

дифференциальное уравнение всегда имеет единственное

решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(x0 )= y0 , y′(x0 )= y0′,…, y(n−1)(x0 )= y0n−1 .

9.4.1. Линейные однородные уравнения n–ого порядка

Определение 1. Линейным однородным дифференциальным уравнением n - го порядка называется уравнение вида

y(n) + a1 (x)y(n−1) +K+ an (x)y = 0 .

Рассмотрим основные свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.

36

Свойство 1. Линейное однородное уравнение всегда имеет решение вида y ≡ 0 .

Доказательство. Проверяется подстановкой y = 0 в исходное уравнение.

Замечание. Решение y = 0 называется нулевым, так как оно

+an−1 (C1 y1 +C2 y2 )′ + an (C1 y1 +C2 y2 )=

=C1 (y1(n) + a1 y1(n−1) +... + an−1 y1′ + an y1 )+

+C2 (y2(n) + a1 y2(n−1) +... + an−1 y2′ + an y2 ).

Так как функции y1 (x) и y2 (x) являются решениями

уравнения, то обе скобки, а значит и вся левая часть уравнения равны нулю.

решением однородного уравнения.

Определение 2. Решения уравнения y1 (x), y2 (x), …, yn (x) называются линейно независимыми на [a;b], если дляx [a;b] равенство

C1 y1 +C2 y2 +...+Cn yn = 0

37

Выполнено тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то есть C1 = C2 = ... = Cn = 0 .

Определение 3. Решения уравнения y1(x), y2 (x), …, yn (x) называются линейно зависимыми на [a;b], если существует набор коэффициентов C1,C2 ,...,Cn , не равных нулю

одновременно, такой, что

C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn = 0 ,

для x [a;b].

Замечание. Если среди решений y1(x), y2 (x), …, yn (x)

есть хотя бы одно нулевое, то они линейно зависимы.

Определение 4. Фундаментальной системой решений

линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка образовывали фундаментальную систему решений, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского для этих решений не обращался в ноль хотя бы в одной точке из

области определения уравнения, то есть W (x0 )≠ 0 , где x0 - точка из области определения уравнения.

Доказательство. Необходимость. Пусть функции y1(x), y2 (x), …, yn (x) образуют фундаментальную систему решений однородного линейного уравнения. Тогда функция

38

y = C1 y1 (x)+C2 y2 (x)+ ...+Cn yn (x),

тоже решение этого уравнения по следствию из Свойства 2.

Поставим для этой функции нулевые начальные условия

y(x0 )= 0 , y′(x0 )= 0 ,…, y(n−1)(x0 )= 0

в точке x0 .

Этим начальным условиям соответствует линейная однородная система относительно C1,C2 ,...,Cn .

C1 y1 (x0 )+C2 y2 (x0 )+ ... +Cn yn (x0 )= 0

C1 y1′(x0 )+C2 y2′(x0 )+ ... +Cn yn′ (x0 )= 0

...

C1 y1(n−1)(x0 )+C2 yn(n−1)(x0 )+ ...+Cn yn(n−1)(x0 )= 0

Данная система является линейной однородной системой

фундаментальную систему, то они линейно независимы и система уравнений имеет только нулевое решение

C1 = C2 = ... = Cn = 0 . Из этого следует, что определитель системы отличен от нуля. Определитель этой системы является определителем Вронского, то есть W (x0 )≠ 0 .

Достаточность. Пусть определитель системы W (x0 )≠ 0 ,

образуют фундаментальную систему решений.

Замечание. Легко доказать, что если W (x0 )≠ 0 , то W (x)≠ 0 для x [a;b].

Теорема 2. (О структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения).

39