Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

606.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

y			v
2		z			w
2
0	2	x	0	1	u

Рис. 8.

Задача 10

Исследовать конечные особые точки функции и найти в них вычеты

а) f (z)=	ez	, б) f (z)=	ez −1	, в)
	(z −1)3 (z + 2)		z3

f (z)= e z −3 .

Справочный материал

Ряды Тейлора и Лорана

Функция f (z), однозначная и аналитичная в точке z = z0 ,

раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора

			f (z)= ∑∞ cn (z − z0 )n ,
				n=0
коэффициенты которого вычисляются по формулам
cn =	1	∫	f (z)dz		=	f (n)(z	0	)	(n = 0,1,2,...),
cn =		∫			=	n!	0		(n = 0,1,2,...),
	2πi L (z − z0 )n+1					n!

где L — окружность с центром в точке z0 , лежащая в указанной

окрестности.

Приведём разложения некоторых основных элементарных функций в ряд Тейлора по степеням z (т. е. в окрестности точки z = 0 ).

∞

= ∑

< ∞,

n=0 n!

sin z = ∑∞ (−1)n

z2n+1

< ∞,

(2n +1)!

n=0

cos z = ∑∞ (−1)n

z2n

< ∞

(2n)!

n=0

f (z)

Точка

называется

нулём

функции

порядка

(кратности) n , если в разложении

f (z) в ряд Тейлора в

окрестности z0

коэффициенты c0 = c1 =K= cn−1 = 0 , а cn ≠ 0 .

Функция

f (z), однозначная

аналитичная

кольце

r <

z − z0

< R ( 0 ≤ r ≤ R ≤ ∞ ),

раскладывается в этом кольце в

ряд Лорана

f (z)= ∑∞ cn (z − z0 )n = ∑∞ cn (z − z0 )n + ∑∞

c−n

n =−∞

n=0

n=1 (z − z0 )n

где

cn =

∫

f (ξ)

dξ

( n = 0,±1,±2,K),

L —

любая

2πi

L (ξ − z0 )n+1

окружность с центром в точке z0 , лежащая внутри кольца.

Ряд

∑∞ cn (z − z0 )n

называется

правильной

частью

ряда

n=0

Лорана

(она

сходится

внутри

круга

z − z0

< R ),

ряд

∞

c−n

∑

— главная часть ряда Лорана (сходится вне круга

n=1(z − z0 )n

z − z0 > r ).

Классификация особых точек

Точка z0 называется особой точкой функции f (z), если функция в этой точке не является аналитической.

Точка z0 называется правильной точкой функции f (z), если

функция в этой точке и некоторой её окрестности является аналитической.

Особая точка z0 функции f (z) называется изолированной особой точкой, если существует проколотая окрестность этой

точки U (z0 ), не содержащая особых точек функции.

Изолированная

особая

точка z0 называется устранимой

особой

точкой,

если

существует

конечный

предел

lim f (z)= c0 .

z →z0

Изолированная

точка

называется

полюсом,

если

lim f (z)= ∞.

z→z0

Если

точка z0 — ноль

функции

( f (z)≡/ 0 ), то

она

f (z)

f (z).

является полюсом функции

Если

z = z0 —

ноль порядка

для

функции

, то

f (z)

f (z).

назовём её полюсом порядка m для функции

При m =1

полюс называется простым.

Изолированная особая точка называется существенно
особой, если	lim f (z) не существует.
z →z0		f (z) — несократимая дробно-
Очевидно,	что если

рациональная функция, то её конечными изолированными особыми точками являются корни знаменателя. Они могут быть только полюсами.

Пусть функция f (z) однозначна и аналитична в некоторой окрестности точки z0 за исключением, может быть, самой точки z0 . Вычетом функции в точке z0 называется число, равное

значению интеграла	1	∫ f (z)dz , где L — любой замкнутый

	2πi L

контур, лежащий в указанной окрестности и окружающий точку z0 , причём обход происходит в таком направлении, чтобы z0 оставалась слева, т. е.

res f (z)=		1		∫ f (z)dz .
			2πi
z =z	0			L

Если точка z0 является		конечной изолированной особой
точкой функции f (z), то

res f (z)= c−1 .

z =z0

Правила нахождения вычетов

1. Если z0 — правильная или устранимая особая точка, то res f (z)= 0 .

z=z0

2.Если z0 — полюс первого порядка, то

res	f (z)= lim f (z)(z − z0 ).
z =z0	z→z0
Замечание. Если	f (z) может быть представлена в виде

частного f (z)=

ϕ(z)

, где ϕ(z0 )≠ 0 , ψ(z0 )= 0 , ψ′(z0 )≠ 0 , то

ψ(z)

ϕ(z0 )

res

f (z) =

z =z0

ψ′(z0 )

f (z), то

3. Если z0

— полюс m - го порядка функции

res

f (z)=

lim

d m−1

[f (z)(z

− z0 )m ].

(m −

z =z0

1)! z→z0 dzm−1

4.Если z0 — существенно особая точка функции f (z), то для вычисления вычета функции в этой точке обычно определяют коэффициент c−1 ряда Лорана непосредственно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
18.04.2015542.52 Кб3013_Раб тетр ДИ исч ФОП ЭКОНОМ.pdf
#
18.04.2015586.37 Кб302_Rabochaya_tetrad_po_teorii_predelov (1).pdf
#
18.04.2015814.45 Кб64РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ.pdf
#
18.04.2015668.53 Кб119РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по теме 4.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.pdf
#
18.04.2015606.13 Кб57РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
18.04.2015600.22 Кб16РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.pdf
#
18.04.2015535.48 Кб15РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf
#
18.04.2015567.24 Кб42Рабочая тетрадь Тема 4.2. Интегральное исчисление функций одной переменной.pdf
#
18.04.2015634.96 Кб91Тема 4.3. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf
#
18.04.2015700.25 Кб90Тема 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf