Высшая математика. Тема 7.1. Теория функций комплексной переменной. Рабочая тетрадь. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 2006.

с. 64.

Издание адресовано студентам инженерных специальностей и предназначено для организации их самостоятельной работы по теме «Теория функций комплексной переменной». Рабочая тетрадь является дополнением к теме 11 компендиума по дисциплине «Математика». Она содержит краткие сведения из теории и подробные решения типовых примеров, а также варианты типовых расчетов.

Работа выполнена по заказу и при поддержке факультета целевой контрактной подготовки специалистов.

Составитель И. Н. Фишкина

Ответственный редактор Я. Ю. Ионченкова

2

Задача 1

Изобразить число 5 −5 3 i на комплексной плоскости, найти его модуль и аргумент и записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.

Справочный материал

комплексного числа.

Действительные числа x и y называются соответственно действительной (или вещественной) и мнимой частью комплексного числа z = x +i y и обозначаются

x = Re z , y = Im z .

плоскости OXY вектором r с началом в точке (0, 0) и концом в точке (x, y). Плоскость, на которой изображаются комплексные

числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной (или вещественной) осью, а ось ординат — мнимой (рис. 1).

3

Длина вектора r = {x, y} называется модулем комплексного числа z и обозначается r = z . Величина угла между

положительным направлением действительной оси и вектором r называется аргументом числа z : ϕ = arg z . Положительным

направлением изменения угла ϕ считается направление против

часовой стрелки. Модуль и аргумент комплексного числа z определяются из формул :

r = z = x2 + y2 , tgϕ = xy .

При нахождении аргумента следует учитывать, что для каждого числа z ≠ 0 его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π

(аргумент числа z = 0 не определён, а его модуль равен нулю). В качестве главного значения аргумента обычно выбирают значение ϕ = arg z из промежутка (−π,π]. Всё множество значений аргумента обозначают Arg z . Таким образом,

Arg z = arg z + 2πk ( k = 0,±1,±2,K).

Выделим четыре частных случая. Если z:

a) действительное положительное число, то arg z = 0 ; б) действительное отрицательное число, то arg z =π ; в) чисто мнимое с положительной мнимой частью, то

arg z = π2 ;

4

г) чисто мнимое с отрицательной мнимой частью, то

arg z = −π2 .

Любое комплексное число z ≠ 0 можно представить в

тригонометрической форме

z = r(cosϕ + i sinϕ),

С помощью формулы Эйлера

eiϕ = cosϕ +isinϕ

можно перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к экспоненциальной (показательной).

z = reiϕ .

Решение задачи

Число 5 −5 3 i изобразим на комплексной плоскости точкой

с координатами (5, −5 3)(рис. 2). Найдем модуль заданного числа:

z = 52 + (−5 3)2 =10 .

Так как точка (5, −5 3)лежит во второй четверти, то

Рис. 2.

5

Тригонометрическая форма имеет вид

а экспоненциальная

Справочный материал

Для того чтобы разделить одно комплексное число на другое, удобно домножить числитель и знаменатель дроби, полученной при записи действия, на комплексное число, сопряженное

действительную часть:

6