Л8_ Теория вероятностей

Лекция 8.

Кратные интегралы.

Мера Жордана. Жордановы множества.

Областью в пространстве называется непустое связное открытое множество. Замыкание области называется замкнутой областью. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки. Замкнутое множество называется границей области .

Диаметром области называется точная верхняя грань расстояний между точками области

, где , , .

Для замкнутой ограниченной области диаметр равен наибольшему из расстояний между точками области.

Стандартным прямоугольником называется прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, например,

замкнутый стандартный прямоугольник

(1)

открытый стандартный прямоугольник

, (2)

а также полуоткрытые прямоугольники, для которых хотя бы одно из трех неравенств в вышеприведенном определении (1) является строгим. Обозначим через множество стандартных прямоугольников на плоскости.

Два прямоугольника , называются непересекающимися, если они не имеют общих внутренних точек. Для прямоугольника , который является объединением непересекающихся стандартных прямоугольников , будем использовать специальное обозначение . Каждому прямоугольнику можно сопоставить число – его меру, которая удовлетворяет условиям неотрицательности: и аддитивности: . В частности, мерой непустого стандартного прямоугольника (замкнутого, открытого или полуоткрытого), определяемого числами , является его площадь .

Связное плоское множество называется элементарным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся стандартных прямоугольников .

Стандартным прямоугольным параллелепипедом в называется . Два параллелепипеда , называются непересекающимися, если они не имеют общих внутренних точек. Мерой или объемом стандартного параллелепипеда называется .

Элементарным телом называется связное множество точек пространства , представляющее собой объединение конечного числа непересекающихся -мерных стандартных прямоугольных параллелепипедов. Мера или объем элементарного тела равна сумме мер стандартных прямоугольных параллелепипедов .

Рассмотрим произвольную область на плоскости, проведем прямые, параллельные координатным осям. В результате получим стандартные прямоугольники. Обозначим такое разбиение через . Пусть – площадь стандартных прямоугольников, лежащих внутри и не имеющих общих точек с границей области, а – площадь стандартных прямоугольников, имеющих хотя бы одну общую точку с границей области. Тогда для разных разбиений получим множества и .

Нижней или внутренней мерой Жордана множества называется ; верхней или внешней мерой Жордана называется . Множество называется измеримым по Жордану, если и конечны и . В этом случае величина называется мерой Жордана, а множество называется жордановым. Аналогичным образом определяется мера области , . Мера Жордана обладает свойствами неотрицательности (), аддитивности () и монотонности (.Если жорданово множество, то .

Множество , границей которого является спрямляемая (в частности кусочно-гладкая) замкнутая кривая без самопересечений является жордановым множеством. Множество , границей которого является кусочно-гладкая замкнутая поверхность без самопересечений, является жордановым множеством.

Жордановой мерой ограниченного участка кривой или отрезка является длина, жордановой мерой ограниченной замкнутой плоской области или поверхности является площадь, жордановой мерой тела в трехмерном пространстве, ограниченного замкнутой поверхностью, является объем.

Интеграл Римана по измеримому по Жордану множеству и его свойства

Пусть – жорданово множество, на котором задана ограниченная функция . Разбиением множества называется конечная система непустых непересекающихся жордановых множеств , объединение которых равно заданному множеству: . Диаметром разбиения называется . Выберем произвольно точки , и составим интегральную сумму Римана

(3)

Интегралом Римана от функции по измеримому по Жордану множеству называется число

, (4)

которое не зависит ни от способа разбиения множества , ни от выбора точек . Для интеграла Римана используется также следующее обозначение

.

Такой интеграл называется кратным интегралом.

Если – плоская область, жордановой мерой которой является площадь, то = – двойной интеграл. Если – область в трехмерном пространстве, жордановой мерой которой является объем, то = – тройной интеграл.

Множество интегрируемых по Риману функций на множестве обозначается R.

Если R и , то ограничена на .

Если измеримое по Жордану замкнутое ограниченное множество и , то R.

Если измеримое по Жордану замкнутое ограниченное множество, ограничена на и множество точек разрыва функции имеет жорданову меру нуль, то R. В частности, ограниченная функция, имеющая не более чем счетное множество точек разрыва на жордановом множестве , интегрируема по Риману на этом множестве.

Основные свойства кратного интеграла Римана

Будем считать в дальнейшем множества измеримыми по Жордану и функции ограниченными на рассматриваемых множествах.

1. .

2. R, RR для любых постоянных и и (свойство линейности интеграла).

3. R, R,

R и (свойство аддитивности интеграла). Отметим, что здесь существенным условием является ограниченность функции на множествах и .

4. R, RR и R , если .

5. Если R, R и для любых , то . В частности, если R и для любых , то .

6. Если R, , , то

.

7. Если R, , , R, для любых , то .

8. Если ограничена на , R и почти везде на (т.е. равенство нарушается на множестве меры нуль), то .

Сведение кратных интегралов к повторным интегралам

Для вычисления двойных и тройных интегралов необходимо свести их к повторным интегралам. Это можно сделать на основе теоремы Фубини.

Область , где , , называется стандартной относительно оси , если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках. Иногда такая область называется правильной в направлении оси . Аналогично определяются область на плоскости, стандартная относительно оси (правильная в направлении оси ):

, где , . Стандартная относительно координатной оси область и ее замыкание являются жордановыми множествами.

Теорема Фубини для стандартной плоской области.

Если , где, , и , то

. (5)

Если , где , и , то

. (6)

Замечание. При практическом использовании формул необходимо, чтобы , (соответственно , ), в противном случае представляют интеграл в виде суммы интегралов.

Теорема Фубини для правильной пространственной области.

Пусть ограниченная и замкнутая пространственная область, правильная в направлении оси , т.е. любая прямая, параллельная оси, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда – измеримый компакт. Если

, ,

, , , то

. (7)

Аналогично формулируется теорема Фубини для пространственной области, правильной в направлении оси : если

, , ,

, , , то

. (8)

Теорема Фубини для пространственной области, правильной в направлении оси : если , , ,

, , , то

. (9)

Теорема Фубини для правильной области в .

Пусть – измеримый по Жордану компакт в .

…,

. Функции , …,, непрерывны в области определения (например, функции , непрерывны на – измеримом по Жордану компакте), функция . Тогда

(10)

Пример 1 . Вычислить интеграл , где – область, ограниченная прямыми , и гиперболой .

Найдем точки пересечения кривых, ограничивающих заданную область, решив соответствующие системы уравнений

.

Отсюда следует, что область может быть представлена в виде . Тогда интеграл равен

Область можно представить также в виде , где ,

_.и тогда интеграл представляет собой сумму двух интегралов

Пример 2. Вычислить тройным интегрированием объем тела , ограниченного цилиндрами , и плоскостями , .

Объем тела определяется тройным интегралом . Сведем тройной интеграл к трехкратному.

Здесь видны две цилиндрические поверхности, которые ограничивают тело снизу и сверху и две плоскости. Построим тело, объем которого нужно найти.

Спроектируем тело на плоскость . В результате получится прямоугольник, две стороны которого лежат на прямых с уравнениями , . Найдем уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны прямоугольника. Для этого исключим из уравнений цилиндров переменную и решим полученное уравнение