6 Закон сохранения импульса

Согласно уравнению (2.15) импульс системы может изменяться под действием только внешних сил.

Если система замкнута, то внешние силы отсутствуют либо равна нулю, тогда из уравнения (2.15) следует, что

и, следовательно,

(2.17)

Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет содержаниезакона сохранения импульса.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространстваво всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте.

И еще у незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс , а его проекцияна некоторое направление. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы, на направлениеравна нулю, т.е.. Действительно, записав уравнение (2.15) в проекции на, получим

откуда следует, что если , то. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление, чтобы в системе ни происходило.

7 Уравнение движения центра масс

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка , называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала системы отсчетахарактеризуется радиус-вектором.

(2.19)

Рис. 2

где и- масса и радиус- вектор-й частицы,- масса всей системы (рис. 2).

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

Продифференцировав по времени, найдем скорость центра масс:

(2.20)

Отсюда следует, что

, (2.21)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив это выражение в формулу (2.15), получим уравнение движения центра масс:

(2.22)

Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы . Это означает, чтоцентр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс(сокращенно ц-системой). Эта система инерциальна. Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называетсялабораторной системой(сокращенно л-системой).

8 Движение тела переменной массы. Уравнение Мещерского

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу и др.).

Наша задача: найти уравнение движения такого тела.

Пусть в некоторый момент масса движущегося тела равна, а присоединяемое (или отделяемой) веществоимеет скоростьотносительно данного тела.

Пусть далее за промежуток времени от дотело приобретает импульс. Это импульс тело получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы, которая приносит (уносит) импульс, и, во-вторых, вследствие действия силысо стороны окружающих тел или силового поля.

Таким образом,

или

, (2.23)

где скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

Это уравнение является основным уравнением динамики переменной массы. Его называютуравнением Мещерского. Последнее слагаемое уравнения (2.23) названо реактивной силой:. Если масса присоединяется, тои, если же масса отделяется, тои.

Задачи

Задача 1Наклонная плоскость оставляет угол= 30⁰с горизонтом (рис. 3). Отношение масс тел. Коэффициент трения между теломи плоскостью= 0,1. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела, если система пришла в движение из состояния покоя.

Решение

Рис. 3

Направление силы трения, действующее на тело , будет определено, если найти направление ускорения этого тела в отсутствие трения (=0). С этого мы и начнем.

Запишем основное уравнение динамики для тел ив проекциях на осии:

:

:

где - сила натяжения нити.

Сложив эти два уравнения, получим

.

Подставив и, найдемм/с². Таким образом,, следовательно, телоначнет двигаться вверх по наклонной плоскости. Следовательно, действующая на это тело, направлена в противоположную сторону. Тогда

:

:

:

,

откуда

,

(м/с²)

Задача 2На рис.4 изображена система блоков, к которым подвешены грузы, масса которых= 200 г и= 500 г. Считая, что грузподнимается, а неподвижный блок с грузомопускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определить:

1. силу натяжения нити ,

2. ускорения, с которыми движутся грузы.

Решение

Рис. 4

,

Сложив два уравнения, получим

,

,

.

Подставив численные значения, получим

= 1,5 м/с²,= 0,75 м/с²,= 2,26 Н.

Задача 3Шайба массойскользит без трения с высотыпо желобу, переходящему в петлю радиусом(рис. 5). Определить:

1. силу давления шайбы на опору в точке, определяемой углом(см. рис.)

2. угол , при котором сила давления равна нулю.

Решение

Рис. 5

Закон сохранения энергии:

,

:

,

,

.

Задача 4Интегрирование уравнений движения

Частица массы движется под действием силы. В моментизвестны ее радиус-вектори скорость- начальные условия. Найти положение частицы, т.е. ее радиус-вектор, в зависимости от времени, если:

1. ,,;

2. ,,.

Здесь - постоянный вектор,и- положительные постоянные.

Решение

1. Согласно основному уравнению динамики ускорение

.

Отсюда

Учитывая, что , после интегрирования, получим

Теперь найдем

.

В результате интегрирования находим

,

где учтено, что .

2. В этом случае ускорение

.

Для интегрирования этого уравнения перейдем к скалярной форме – к модулю вектора :

.

Интегрирование этого уравнения дает

.

После потенцирования возвращаемся к векторной форме:

.

Последнее уравнение интегрируем еще раз с учетом начальных условий:

.

Задача 5Закон сохранения импульса

Человек массы находится в лодке массой, которая покоится на поверхности озера. Человек прошел вдоль лодки расстояниеи остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдем соответствующее смещение лодкиотносительно берега.

Решение

В данном случае результирующая всех сил, действующих на систему человек – лодка, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения:

или

где и- скорости человека и лодки относительно берега.

С другой стороны ,

где - скорость человека относительно лодки. Исключивиз этих двух уравнений, получим

.

Умножив обе части на и учтя, что,, получим

.

Задача 6Движение тела переменной массы

Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначально масса ракеты (с топливом) равна . Скорость газовой струи постоянна и равнаотносительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скоростьракеты в зависимости от ее массыи времени подъема.

Решение

Запишем уравнение движения ракеты – уравнение (2.23) – в проекции на вертикальную ось , направленную вертикально вверх:

.

Перепишем это уравнение так:

,

откуда

.

Проинтегрировав с учетом начальных условий: ,,, получим:

.

Искомая скорость ракеты

.

Тесты

1. Силы, с которыми внешние тела действуют на материальную точку механической системы, называются…

1) …внутренними силами; 2) …внешними силами; 3) …потенциальными силами; 4) непотенциальными силами.

2. Коэффициент трения между бруском массой 3 кг и горизонтальной плоскостью равен 0,2. Найти величину силы трения, если на брусок действует горизонтальная сила тяги 5 Н, а он при этом находится в состоянии покоя…

1) …0,2 Н; 2) …5 Н; 3) …6 Н; 4) …11 Н; 5) …15 Н.

3. Дано выражение: , где- вектор силы, действующей на материальную точку,и- два момента времени. Это выражение определяет…

1) …момент силы; 2) ….кинетическую энергию точки; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …импульс тела.

4. Брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Удлинение пружины равно ...

1) …0,6 см; 2) …1,7 см; 3) …6 см; 4) …17 см; 5) …60 см.

5. Силы, работа которых при перемещении тела зависят только от начального и конечного положения тела в пространстве, называются…

1) …внутренними силами; 2) …внешними силами; 3) …потенциальными силами; 4) …непотенциальными силами.

6. Сила – векторная величина, которая характеризуется...

1) ...модулем, скоростью, направлением; 2) ...направлением, точкой приложения; 3) ...модулем, точкой приложения, скоростью; 4) ...модулем, точкой приложения; 5) ...модулем, направлением, точкой приложения.

7. Какую скорость за 2 с приобретет тело массой 2 кг, расположенное на горизонтальной поверхности, под действием горизонтальной силы 10 Н, если коэффициент трения равен ?

1) …0 м/с; 2) …2 м/с; 3) …22 м/с; 4) …4 м/с; 5) …10 м/с.

8. Шар массой , двигаясь со скоростью, упруго ударяется о стенку под угломк её поверхности. Найти импульс, сообщённый стене при ударе…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

9. Два тела двигаются навстречу друг другу. Масса первого 1 кг, скорость 36 км/ч, масса второго тела 2 кг, скорость 5 м/с. Импульс системы тел равен…

1) …10 кг∙м/с; 2) …20 кг∙м/с; 3) …26 кг∙м/с; 4) …46 кг∙м/с; 5) …0 кг∙м/с.

10. Система состоит из трех шаров с массами М₁= 1 кг, М₂= 3 кг, М₃= 2 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке. Если скорости шаров равны V₁ = 3 м/с, V₂= 1 м/с, V₃= 4 м/с, то вектор импульса центр масс этой системы направлен…

Рис.1

1) …вправо; 2) …вверх; 3) ….вниз; 4) …вправо-вверх; 5) …вправо-вниз.

11. Основной закон динамики позволяет вычислить силу из выражения…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

12. Два тела двигаются по взаимно перпендикулярным направлениям. Импульс первого равен 5 кг∙м/с, импульса второго тела равен 12 кг∙м/с. Импульс системы тел равен…

1) …2,4 кг∙м/с; 2) …7 кг∙м/с; 3) …13 кг∙м/с; 4) …17 кг∙м/с; 5) …60 кг∙м/с.

13. Система состоит из трех шаров с массами М₁= 3 кг, М₂= 5 кг, М₃= 1 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке 3. Если скорости шаров равны V₁= 3 м/с, V₂= 0 м/с, V₃= 2 м/с, то вектор импульса центр масс этой системы направлен…

Рис. 2

1) …вправо; 2) …вверх; 3) …вниз; 4) …вправо-вверх; 5) …вправо-вниз.

14. Какие из перечисленных ниже сил являются консервативными?

1) …сила трения скольжения; 2) …сила трения качения; 3) …сила сопротивления воздуха; 4) …сила земного тяготения; 5) …сила Стокса (сила сопротивления движению в жидкости).

15. Тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае равнодействующей всех приложенных к нему сил…

1) ...не равна нулю, постоянна по модулю и направлению; 2) ...не равна нулю, постоянна по направлению, но не по модулю; 3) …не равна нулю, постоянна по модулю, но не по направлению; 4) …равна нулю; 5) …равна нулю или постоянна по модулю и направлению.

16. Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, можно записать в виде…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

17. Непотенциальные силы – это…

1) …силы взаимодействия между телами системы; 2) …силы, с которыми внешние тела действуют на тела механической системы; 3) …силы, работа которых при перемещении тела зависят только от начального и конечного положения тела в пространстве; 4) …силы, работа которых при перемещении тела из одного положения в другое зависит от траектории перемещения тела.

18. Сила, возникающая при деформации тела и направленная противоположно направлению смещения частиц при деформации, называется...

1) ...силой упругости; 2) ...силой тяжести; 3) ...силой реакции опоры; 4) …силой трения; 5) ...весом тела.

19. Ускорение свободного падения на расстоянии от центра Земли, вдвое превышающем ее радиус, равно...

1) ...2,5 м/с²; 2) ...5 м/с²; 3) ...7,5 м/с²; 4) ...10 м/с²; 5) ...12,5 м/с².

20. Какой из нижеуказанных точек на диаграмме зависимости (рис. 2) массы планеты от ее радиуса, соответствует планета с наименьшим ускорением свободного падения?

Рис. 3

1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.

21. Замкнутая система – это система, в которой не действуют…

1) …внутренние силы; 2) …внешние силы; 3) …потенциальные силы; 4)…непотенциальные силы.

22. Какие физические величины связывает закон Гука?

1) …силу, коэффициент трения; 2) …силу, массу тела и ускорение свободного падения; 3) …силу, давление, площадь; 4) …силу, массу и ускорение тела; 5) …силу, жесткость и деформацию.

23. Два тела массами 0,4 кг и 0,6 кг двигались навстречу друг другу и после удара остановились. Если первое двигалось со скоростью 3 м/с, то скорость второго тела...

1) ...1,2 м/с; 2) ...2 м/с; 3) ...3 м/с; 4) ...4,5 м/с; 5) …6 м/с.

24. Диссипативная система – это система, в которой действуют…

1) …внутренние силы; 2) …внешние силы; 3) …потенциальные силы; 4) …непотенциальные силы.

25. Сила, возникающая при соприкосновении поверхностей тел и препятствующая их относительному перемещению, называется...

1) ...силой тяжести; 2) ...весом тела; 3) …силой упругости; 4) ...силой реакции опоры; 5) ...силой трения.

26. Укажите номер выражения, определяющего модуль силы трения скольжения…

1) …; 2) …; 3) …; 4) …; 5) ….

27. Какой из нижеприведенных графиков наиболее точно отражает зависимость первой космической скорости от радиуса планеты для спутника, вращающегося на малой высоте по сравнению с радиусом планеты?

1 2 3

4 5

1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.

17