4 Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа

Теплоемкостью тела (газа) называют количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:

. (2.6)

.

Эта величина, как и зависит от процесса. Без указания процесса выражение (2.6) не имеет смысла. Еще раз:теплоемкость является функцией процесса.

Теплоемкость единицы массы вещества называемая удельной теплоемкостью:

(2.7)

.

Мы будем пользоваться в основном молярной теплоемкостью – теплоемкостью одного моля вещества , которая равна

(2.8)

. Здесь - количество вещества или число молей,- молярная масса.

Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением

(2.9)

Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме и при постоянном давлении. При постоянном объеме, и согласно (2.4) имеем

() (2.10)

В термодинамике подобные выражения принято записывать в виде

. (2.11)

Символ производной, снабженный индексом , указывает на то, что при дифференцировании функциипообъемследует считать постоянным.

Опыт показывает, что во многих случаях теплоемкость в широком интервале температур почти не меняется. Если считать, чтосовсем не зависит от, то из (2.11) следует, что

,

Проинтегрировав это соотношение, получим выражение для внутренней энергии моля идеального газа

(2.12)

Внутренняя энергия массы газа будет равна

(2.13)

Напишем уравнение (2.5) для моля газа, предположив, что теплота сообщается газу при постоянном давлении:

, (2.14)

где - объем моля.

Молярная теплоемкость при постоянном давлении равна:

()

Согласно формуле (2.11), ().

Учтя это и использовав применяемый в термодинамике способ записи формул, придем к соотношению:

. (2.15)

Если процесс изобарический (), то из уравнения состоянияследует, что.

Подстановка этого значения производной в (2.15) приводит к соотношению

(2.16)

Отсюда следует физический смысл универсальной газовой постоянной :равна работе, совершаемой молем идеального газа при повышении его температуры на один кельвин при постоянном давлении.

Подчеркнем, что соотношение (2.16) справедливо только для идеального газа.

Отношение теплоемкостей

(2.17)

называют постоянной адиабаты – это важная характеристика газов.

Имея в виду (2.16), запишем

,

отсюда молярная теплоемкость

. (2.18)

Подставив это выражение для в (2.13) получим для внутренней энергии моля идеального газа формулу

. (2.19)

Для внутренней энергии молей газа

(2.20)

5 Уравнение адиабаты идеального газа

Для идеального газа уравнение состояния имеет вид

(2.21)

Бывают процессы, в ходе которых один из параметров состояния остается постоянным, такие процессы называются изопроцессами.

Если , процесс называетсяизобарическим, если , процесс называетсяизохорическим, если , процессизотермический. Из уравнения (2.21) следует, что в случае идеального газа при изотермическом процессе

, (2.22)

которое называется уравнением изотермы, а кривая, определяемая этим уравнением называется изотермой.

Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим. Найдем уравнение адиабаты идеального газа.

Воспользуемся уравнением (2.5) первого начала термодинамики, подставив в него выражение (2.20) для , получим

В отсутствие теплообмена с внешней средой . Поэтому.

Далее

Разделив оба слагаемых на , получим

.

Это выражение представляет собой сумму дифференциалов логарифмов и:

Отсюда следует, что

(2.23)

Мы получили уравнение адиабаты в переменных . Его называютуравнением Пуассона.

Написав уравнение (2.23) в виде и заменив, придем к уравнению адиабаты в переменныхи:

(2.24)

Из уравнения (2.24) вытекает, что при адиабатическом расширении идеальный газ охлаждается, а при сжатии нагревается.

Адиабата (2.23) идет круче изотермы (): для этого достаточно сравнить производныедля обоих процессов.

Для изотермического процесса , откуда

.

Для адиабатического процесса (2.23) , откуда

.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной у адиабаты в раз больше, чем у изотермы. Так как, то адиабата идет круче, чем изотерма (рис. 4).

Рис. 4

Близкими к адиабатическому могут быть только достаточно быстро протекающие процессы.