Растяжение и сжатие. Усилия в поперечном сечении стержня.

  

 Центральным растяжением или сжатием  в сопромате называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила N, а все остальные усилия равны нулю.

 Продольная сила N - равнодействующая внутренних сил в поперечном сечении стержня. В сопротивлении материалов она определяется из условия равновесия отсеченной части, и численно равна сумме проекций на продольную ось стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

  При растяжении продольная сила направлена от сечения и считается положительной. При сжатии она направлена к сечению и считается отрицательной.

  Эпюра продольных сил - график величин этих усилий для всех поперечных сечений стержня.

 

 Пример решения задачи по сопромату на растяжение - сжатие. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис. 4,а.

 

 Решение. Проводим сечение 1-1 в пределах первого участка и отбрасываем правую часть стержня. К оставшейся левой части прикладываем неизвестную силу N1, предполагая ее положительной и направляя от сечения. Из уравнения равновесия отсеченной части получим      N1-3P=0   =>  N1=3P

 

 Проводя сечения 2-2, 3-3 и т.д. на остальных участках и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей, определим продольные силы (рис.4,б).

2-ой участок   N2 – P – 3P =0     N2=4P

3-й участок    N3 +6P-P-3P=0     N3= -2P

4-й участок     N4-4P+6P-P-3P=0   N4=2P

 

Для контроля определим N4 из рассмотрения правой части стержня.

  2P – N4=0    N4=2P

 По найденным значениям N на рис. 4, в построена эпюра продольных сил. Из эпюры следует, на участках 1,2 и 4 стержень растянут, а на участке 3 сжат. Так ведется решение задач на растяжение и сжатие в сопромате.

 

Напряжения и деформации. Растяжение и сжатие. Сопромат решение задач

 

При растяжении-сжатии стержня с постоянными поперечными размерами в любом поперечном сечении возникают нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и равные

o = N/A

где N - продольная сила в сечении;

       А -площадь поперечного сечения.

Эта формула справедлива только для поперечных сечений, отстоящих от места приложения нагрузки на расстоянии не меньшем поперечного размера стержня (принцип Сен-Венана).

   Вблизи места приложения нагрузки напряжения распределяются

неравномерно.

В случае однородного стержня, растянутого или сжатого силами, приложенными на концах, напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е. одинаковы для всех точек объема стержня

   Такое напряженное состояние в сопромате называется однородным.

Продольную деформацию стержня характеризуют следующие величины (рис. 5).

  Абсолютная продольная деформация (удлинение при растяжении и укорочении при сжатии)  ^ l = l1-l

где 1 -первоначальная длина стержня;

       l1 - конечная длина.

Относительная продольная деформация (относительное удлинение). e = ^ l / l 

Поперечную деформацию стержня в сопротивление материаловхарактеризуют следующие величины:

Абсолютная поперечная деформация   ^b = b – b1,

где b -первоначальный поперечный размер,

      b1 - поперечный размер после деформации

 

Относительная поперечная деформация  e 1 = ^b / b

 

 При растяжении продольную деформацию можно считать положительной (е > 0), а поперечную отрицательной (е 1 < 0).

 При сжатии, наоборот e < 0, е 1 > 0.

Абсолютная величина отношения e1  к  е называется коэффициентом Пуассона, 

                         M = [e1/e]

Коэффициент Пуассона  M (мю) - величина безразмерная и его значение

для различных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5. Объемная деформация характеризуется относительным изменением объема

 ev = ^V / V

 

 где ^V - абсолютное изменение объема;

         V - Первоначальный объем стержня.

 

    Закон Гука о = e Е,

 

где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости, который имеет размерность Па, кПа, мПа.

  Закон Гука справедлив, пока напряжения не превосходят определенной для каждого материала величины, называемой пределом пропорциональности.

  Абсолютное удлинение стержня постоянного сечения при постоянном по его длине значении продольной силы определяется по формуле:     ^l = Nl / EA  - закон Гука

 где ЕА – жесткость сечения. Эта формула очень важна в курсе изучения сопротивления материалов вообще и в решении задач по сопромату в частности.