ПРАКТИКА-5 Формула Бернулли

2

Практическое занятие.

Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события.

12.98 На улице наугад останавливают трёх человек и спрашивают в какой день недели они родились. Какова вероятность, что хотя бы двое из них родились в пятницу?

12.99 Экзамен состоит из 6 вопросов. На каждый вопрос дано три возможных ответа, среди которых необходимо выбрать один правильный. Какова вероятность, что методом простого угадывания удастся ответить не менее, чем на пять вопросов?

12.100 Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0.25. Спортсмен сделал пять выстрелов. Найти вероятность того, что стрелок попадёт в «яблочко» не менее трёх раз.

12.101 В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Из урны вынимают подряд 4 шара, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность, что при четырёх извлечениях два раза окажется вынутым белый шар?

12.102 Три раза бросают пару одинаковых игральных костей. Найти вероятность того, что сумма очков равная семи выпадет два раза.

12.103 Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 9 автомашин из 10 имеющихся. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0.1. Найти вероятность того, что автобаза будет работать нормально в ближайший день.

12.104 В мастерской имеется 4 мотора. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0.8. Найти вероятность того, что в данный момент более половины из них работает с полной нагрузкой.

12.105 Учитель отбирает каждый раз случайно одного ученика для проверки подготовки домашнего задания. Какова вероятность того, что за шесть дней недели им будет выставлено четыре положительные оценки, если из 18 учеников всегда 6 полностью не сделали домашнее задание?

12.106 Отрезок разделён точкой в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки и две – правее. Вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

12.108 В эксперименте по схеме Бернулли, состоящем из трёх независимых испытаний, вероятность ровно двух успехов (появлений некоторого события ) в 12 раз больше вероятности трёх успехов. Найти вероятность успеха в одном испытании.

12.109 Для данного игрока в баскетбол вероятность забросить мяч в корзину со штрафного броска равна 0.5. Сколько надо предоставить игроку штрафных бросков, чтобы вероятность попасть в корзину хотя бы один раз была не менее 0.99.

12.110 Вероятность хотя бы одного появления некоторого события в четырёх независимых испытаниях равна 0.5904. Какова вероятность появления события в одном испытании, если в каждом испытании она одинакова?

12.111 Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0.9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

12.112 Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0.6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

12.113 Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0.4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

12.114 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.3. Найти число испытаний , при котором наивероятнейшее число появлений события равно 30.

12.115 Чему равна вероятность наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

12.116 Чему равна вероятность наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

Приближённые формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

12.117 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени равна 0.002. Найти вероятность того, что за время откажут ровно три элемента (Указание: принять ).

12.118 Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0.01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных (Указание: принять ).

12.119 Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Свёрла укладывают в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что число бракованных свёрл в коробке окажется не более двух (Указание: принять ).

12.120 По каналу связи передаётся 100 знаков. Каждый знак может быть искажён независимо от остальных с вероятностью 0.05. Найти вероятность того, что будет искажено не более трёх знаков (Указание: принять ).

12.121 Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно 3; б) менее трёх; в) более трёх; г) хотя бы одно (Указание: принять ).

12.122 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0.003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну (Указание: принять ).

12.123 Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

12.124 Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Найти вероятность, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.

12.125 К магистральному водопроводу подключены 100 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0.8 в данный момент времени осуществляет забор воды. Найти вероятности того, что в данный момент забор воды производят: а) не менее 75 и не более 90 предприятий; б) не более 90 предприятий.

12.126 Игральная кость бросается 600 раз. Найти вероятности того, что «шестёрка» выпадет: а) от 90 до 120 раз; б) не менее 120 раз.

12.127 Вероятность появления «герба» в каждом из 900 подбрасываний монеты равна 0.5. Найти вероятность того, что относительная частота появления «герба» отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0.02.

12.129 В урне содержатся белые и чёрные шары в отношении 4:1. После извлечения шара, регистрируется его цвет, и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений , при котором с вероятностью 0.95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0.01?

12.130 ОТК проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0.05. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.

Ответы:

12.98 12.99 12.100 12.101 12.102 12.103 12.104 12.105 12.106 12.108 12.109 бросков. 12.110 12.111 14 12.112 14 или 15. 12.113 12.114 12.115 12.116 12.117 12.11812.119 12.120 12.121а) б)в) г) 12.122а)б)в)г) 12.123 12.124 12.125а) б) 12.126 а) б) 12.127 12.128

12.129 12.130