РГР Линейная алгебра
.pdfВариант №25 |
|
|
|
|
||||||
x |
+ |
2x |
2 |
− |
4x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2x1 − x2 − 3x3 = 0 |
||||||||||
x |
+ |
3x |
2 |
+ |
x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант №26 |
|
|
|
|
||||||
7x |
− |
6x |
2 |
+ |
x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
4x1 + |
5x2 |
|
= 0 |
|||||||
x |
− |
2x |
2 |
+ |
3x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант №27 |
|
|
|
|
||||||
5x |
− 4x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3x2 |
− |
2x3 |
= 0 |
||||
4x |
+ |
x |
2 |
− |
3x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант №28 |
|
|
|
|
||||||
6x |
+ 5x |
2 |
− 4x |
3 |
= 0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 + x2 − x3 = 0 |
||||||||||
|
|
+ 4x2 + 3x3 = 0 |
||||||||
3x1 |
||||||||||
Вариант №29 |
|
|
|
|
||||||
8x |
+ |
x |
2 |
− |
3x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
x1 + 5x2 + x3 = 0 |
||||||||||
4x |
− 7x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант №30 |
|
|
|
|
||||||
x |
+ |
7x |
2 |
− |
3x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3x1 − 5x2 + x3 =0 |
||||||||||
|
|
+ 4x2 − 2x3 =0 |
||||||||
3x1 |
5x − 3x |
2 |
+ 2x |
3 |
= 0 |
||
|
1 |
|
|
|
||
2x1 + 4x2 |
− |
3x3 |
= 0 |
|||
3x − 7x |
2 |
+ |
5x |
3 |
= 0 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
− 8x |
2 |
+ |
7x |
3 |
= 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
3x1 + 5x2 |
− |
4x3 = 0 |
|||||
4x |
− 3x |
2 |
+ |
3x |
3 |
= 0 |
|
|
1 |
|
|
|
−4x1 + 4x2 − x3 = 0;−2x1 +5x2 −5x3 = 0;2x1 − x2 − x3 = 0.
5 x |
|
+ |
x |
− |
6x |
= 0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4x1 + 3x2 − 7x3 = 0 |
||||||
x |
|
− |
2x |
+ |
x |
= 0 |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2x |
− |
x |
2 |
+ |
4x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
7x1 − 5x2 + 3x3 = 0 |
||||||||||
|
|
− 4x2 |
− x3 = 0 |
|||||||
5x1 |
||||||||||
2x |
+ |
2x |
2 |
− |
x |
3 |
= 0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
5x1 + 4x2 − 6x3 = 0 |
||||||||||
3x |
+ 2x |
2 |
− 5x |
3 |
= 0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
© Н.М. Пекельник |
- 23 - |
Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Определители. Матрицы»
|
−3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
Задание 1. Для определителя = |
2 |
−2 |
1 |
4 |
найти миноры |
|
4 |
0 |
−1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
−1 |
4 |
|
и алгебраические дополнения |
элементов |
аi2, |
a3j. Вычислить |
определитель : а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j–столбца; в) получив предварительно нули в i-й
строке. (i=1; j=2).
► Находим миноры для элементов а12 и а32:
2 |
1 |
4 |
М12= 4 |
−1 |
2 = – 8–16+6+12+4 – 16= –18; |
3−1 4
−3 1 0
М32= 2 |
−1 |
4 = –12+12 –12 – 8= –20. |
3 |
−1 |
4 |
Алгебраические дополнения элементов а12 и а32 равны:
А12=(–1)1+2М12= – (–18)=18; А32=(–1)3+2М32= – (–20)=20.
а) Вычислим данный определитель по элементам первой строки:
= а11 А11 + а12 А12 + а13 А13 + а14 А14 =
|
−2 1 |
4 |
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
2 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
=–3 |
0 |
−1 |
2 |
|
–2 |
|
4 |
−1 |
2 |
|
+1 |
|
4 |
0 |
2 |
|
= |
|
1 |
−1 |
4 |
|
|
|
3 |
−1 |
4 |
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|
= –3(8+2+4 – 4) – 2(– 8– 16+6+12+4 – 16)+(16 – 12 – 4+32)=38;
б) Разложим определитель по элементам второго столбца:
=а12А12+а22А22+а32А32+а42А42=
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
−3 1 |
0 |
|
|
|
−3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= –2 |
|
4 |
−1 |
2 |
|
– 2 |
|
4 |
−1 |
2 |
|
+1 |
|
2 |
1 |
4 |
|
= |
|
|
3 |
−1 |
4 |
|
|
|
3 |
−1 |
4 |
|
|
|
4 |
−1 |
2 |
|
|
= – 2( – 8+6 – 16+12+4 – 16) –2(12+6 – 6 – 16)+ |
|
© Н.М. Пекельник |
- 24 - |
+( – 6+16 – 12 – 4)=38;
в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в первой строке. Используем следствие свойства 4. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на –2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме третьего, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:
|
|
|
|
−3 |
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
−4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
−2 1 |
4 |
|
|
|
5 |
−4 1 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
= |
= |
1 2 2 |
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
0 |
−1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
2 |
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
−1 |
4 |
|
|
|
0 |
3 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
−14 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
1 |
2 |
2 |
= – (– 56+18) =38. e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
3 |
|
Задание |
|
2. |
Даны |
|
|
две |
матрицы |
А= |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В= |
. Найти: а) АВ; б) ВТА; в) А-1; г) АА-1; д) А-1А. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
−2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
►а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы
Аравно числу строк матрицы В. Имеем:
|
−4 0 |
1 |
1 |
2 |
−3 |
|||
|
2 |
−1 3 |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
С=АВ= |
|
= |
||||||
|
3 |
2 |
2 |
|
−2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
−4 +0 −2 −8 +0 +1 12 +0 +3 |
−6 |
−7 15 |
||||||
|
2 −2 −6 |
4 +0 +3 |
−6 −1 +9 |
|
|
−6 |
7 |
2 |
|
= |
|
= |
; |
||||||
|
3 + 4 −4 |
6 +0 + 2 |
−9 + 2 +6 |
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
−1 |
© Н.М. Пекельник |
- 25 - |
1 |
2 |
−2 |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
б) Найдём ВТ= |
. |
|||
|
−3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
−2 − 4 0 1 |
−6 −6 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
|
1 |
|
2 |
−1 |
3 |
|
|
−5 |
2 |
4 |
|
||
Вычислим ВТА= |
|
|
|
= |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
−3 1 |
3 |
|
3 |
2 2 |
|
|
−1 5 6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) Обратная матрица А-1 матрицы А имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
A |
A |
|
A |
|
|
|
|
−4 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
21 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=39 ≠ 0, |
|
||
А-1= |
|
A12 |
A22 |
|
A32 |
, |
где |
det A= |
2 |
|
−1 |
3 |
|
т.е. |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
det A |
A |
A |
|
A |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
13 |
23 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица А-1 существует. Найдём алгебраические дополнения каждого элемента:
А11= |
|
−1 |
|
3 |
|
= – 8; |
А21= – |
|
|
|
0 |
1 |
|
=2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А31= |
|
|
|
0 |
1 |
|
=1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А12=– |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
=5; |
А22= |
|
|
−4 |
|
1 |
|
|
= –11; |
|
|
|
|
|
|
|
А32= – |
|
|
−4 |
1 |
|
|
=14; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
А13= |
|
2 −1 |
|
=7; |
А23= – |
|
−4 |
|
|
0 |
|
=8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
А33= |
|
−4 |
0 |
|
|
=4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
8 |
|
|
|
− |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 −11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
39 |
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда А-1= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
= |
− |
|
5 |
|
|
|
− 3911 |
1439 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
39 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
39 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 4 0 1 |
− |
8 |
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 0 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 3 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
г) АА-1= |
|
2 |
|
|
|
− |
5 |
|
|
− 3911 |
1439 |
|
|
= |
0 1 0 |
=Е; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
39 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−8 2 |
|
|
1 |
− 4 0 1 |
1 0 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) А-1А= |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−11 14 |
|
|
2 −1 3 |
|
|
0 1 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
=Е, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
39 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
0 0 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. обратная матрица найдена, верно. e |
|
© Н.М. Пекельник |
- 26 - |
Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Системы линейных алгебраических уравнений»
Задание 1. Дана система линейных алгебраических уравнений
x1 +5x2 − x3 = 3;
2x1 + 4x2 −3x3 = 2;
3x1 − x2 −3x3 = −7.
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
► Совместность данной системы проверим по теореме КронекераКапелли. С помощью элементарных преобразований найдём ранги
основной матрицы А и расширенной матрицы A .
|
1 |
5 |
−1 |
|
|
3 |
|
|
1 5 |
−1 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
−3 |
|
2 |
|
|
|
|
−6 |
−1 |
|
−4 |
|
~ |
||
2 4 |
|
|
~ 0 |
|
|
||||||||||||
|
3 |
−1 |
−3 |
|
−7 |
|
|
|
0 |
−16 0 |
|
−16 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
−1 |
−5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 |
−6 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
−16 |
|
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, RangA=Rang |
A |
=3=r; |
число |
неизвестных n=3; |
|||||||||||
r = n, |
следовательно, исходная |
|
система |
|
совместна |
и |
имеет |
||||||||
единственное решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) Решим её по формулам Крамера: |
х = |
1 ; |
х |
2 |
= |
2 ; х |
= |
3 , где |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
1 |
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
2 |
4 |
−3 |
|
= −16 ; |
|
|
1 = |
2 |
4 |
−3 |
= 64 ; |
||
|
|
3 |
−1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
−7 −1 −3 |
|
© Н.М. Пекельник |
- 27 - |
|
|
1 |
3 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 = |
|
2 |
2 |
−3 |
|
= −16 ; |
3 = |
|
2 |
4 |
2 |
= 32 ; х1= –4, х2=1, |
|
|
3 |
−7 |
−3 |
|
|
|
|
3 |
−1 |
−7 |
|
х3= –2.
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме:
|
|
|
|
|
|
|
1 5 −1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
2 4 −3 ; |
X = x2 |
; |
B = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −1 −3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Найдём обратную матрицу А-1 (она существует, |
т.к. |
|
=detA= – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 ≠ 0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||||||||||||||
А11= |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
= –15; |
А21= – |
|
5 |
|
|
=16; |
А31= |
|
5 |
|
= –11; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
−3 |
|
|
−1 |
−3 |
|
|
4 |
−3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А12= – |
|
2 |
|
3 |
|
|
= –3; |
А22= |
|
1 |
|
−1 |
|
=0; |
|
|
А32= – |
|
1 |
−1 |
|
|
=1; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
−3 |
|
3 |
−3 |
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А13= |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
= –14; |
А23= – |
|
1 |
5 |
|
=16; |
|
А33= |
|
|
1 |
5 |
|
= –6. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
3 |
− 2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−15 |
16 |
|
−11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А-1= |
|
|
|
|
−3 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−14 |
16 |
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение системы в матричной форме имеет вид: Х=А-1В. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−15 |
16 |
−11 |
3 |
|
1 |
|
−45 +32 + 77 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Х= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−14 16 |
−6 |
|
|
|
|
|
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
−42 +32 + 42 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученной матрицы имеем решение системы: х1= –4, х2=1, х3= –2.
© Н.М. Пекельник |
- 28 - |
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим х1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:
х |
+5х |
2 |
− х |
3 |
= 3; |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
−6х2 − х3 = −4; |
||||
|
|
−16х2 = −16. |
||||
|
|
Из полученной системы находим: х1= –4, х2=1, х3= –2. Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений
2x1 −3x2 + x3 = 2;3x1 + x2 −3x3 =1;5x1 −2x2 −2x3 = 4.
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.
► Проверяем совместимость системы с помощью теоремы КронекераКапелли. Для этого найдём ранги основной и расширенной матриц:
~ |
|
2 |
−3 1 |
|
2 |
|
1 |
−3 |
2 |
|
2 |
|
1 |
−3 |
2 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 −3 |
|
1 |
|
|
−3 |
−1 |
3 |
|
1 |
|
|
|
−8 |
9 |
|
7 |
|
~ |
||||
A = |
|
|
|
~ |
|
|
~ 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
5 |
−2 −2 |
|
4 |
|
|
−2 |
−2 |
5 |
|
4 |
|
|
0 |
−8 |
9 |
|
8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−8 |
9 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ 0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rang A=2, Rang A =3, т.е. Rang A ≠ Rang A , таким образом, исходная система несовместна. e
Задание 3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений
2х1 −4х2 +5х3 = 0;
х1 +2х2 −3х3 = 0;3х1 − х2 +2х3 = 0.
► Для однородной системы Rang A=Rang A , поэтому она всегда совместна.
© Н.М. Пекельник |
- 29 - |
Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы был равен нулю.
|
|
|
2 |
− 4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||
Найдём определитель системы: |
= |
|
1 |
2 |
−3 |
|
≠ 0 , |
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
следовательно, исходная система имеет нулевое решение: х1=х2=х3=0. e
Задание 4. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений
3х |
+ 4 |
х |
2 |
− х |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
−3х2 +5х3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||
4х |
+ х |
2 |
+ 4х |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
► Найдём определитель |
системы: |
= |
|
1 |
−3 |
5 |
= 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
|
следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Решим данную систему по формулам Крамера в общем виде. Возьмём любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдём её решение. Имеем:
3х1 +4х2 − х3 = 0;х1 −3х2 +5х3 = 0.
Т.к. определитель из коэффициентов при неизвестных х1 и х2 (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с х3 в правые части уравнений:
3х1 +4х2 = х3 ;
х1 −3х2 = −5х3.
Решаем последнюю систему по формулам Крамера:
= |
|
3 |
4 |
|
= −13 , |
1 |
= |
х3 |
4 |
=17х3, |
2 |
= |
3 |
х3 |
= – |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
−3 |
|
|
|
−5х −3 |
|
|
1 |
−5х |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
16х3.
© Н.М. Пекельник |
- 30 - |
Отсюда находим, что х1= – 1713 х3 , х2= 1613 х3 . Полагая x3=13k, k– произвольный коэффициент пропорциональности, получаем решение исходной системы:x1= –17k, x2=16k, x3=13k. e
© Н.М. Пекельник |
- 31 - |