1.2.1 Краткие сведения из теории вероятностей и математической статистики

Случайнойназывается величина, которая в результате эксперимента принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее не известное, меняющееся от опыта к опыту [1].

Дискретнойназывается случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счётное множество значений.

Непрерывнойназывается случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого интервала.

Вероятность события– численная мера объективной возможности появления этого события. Вероятность событияAвычисляется как отношение числа случаевm, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаевn

.

Законом распределенияслучайной величины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. При этом говорят, что случайная величина подчиняется данному закону распределения.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. В противном случае случайные величины называютсязависимыми.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, в виде функции распределения и в виде плотности распределения.

Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины.

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому перечислить их в таблице невозможно. Табличная форма задания закона случайной величины называется рядом распределения.

Наиболее общей формой задания закона распределения является функция распределения F(x), которая показывает вероятность того, что случайная величинаXпримет значение, меньшее фиксированного действительного числаx, т.е.

.

Функция распределения используется для описания закона распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Закон распределения непрерывной случайной величины Xможет быть заданплотностью распределенияf(x)=F′(x).

Для приближенного представления плотности распределения случайной величины Xпо ограниченному числуnэкспериментальных данных используетсягистограмма частот(илигистограмма относительных частот). Для её построения весь промежуток [x_min; x_max] (от наименьшего наблюдаемого значенияx_minдо наибольшего наблюдаемого значения x_max) разбивается на несколько промежутков равной длиныh. Для каждого из полученных промежутков подсчитывается число наблюденных значений, в него попавших. Если наk-й промежуток попалоn_kнаблюденных значений, то на этом промежутке строится прямоугольник высотойn_k/h(для гистограммы относительных частот высота равнаn_k/(n∙h)).

Закон распределения полностью характеризует случайную величину Xс вероятностной точки зрения.

Но при решении ряда практических задач удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, который в сжатой форме дают информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, моменты различных порядков, мода и медиана.

Математическое ожиданиеM(x) характеризует некоторое среднее значение, вокруг которого сосредоточены все возможные значения случайной величиныX. Поэтому математическое ожидание иногда называют просто средним значением случайной величины.Статистическая оценкаM(x) определяется выражением

,

где x_i– значениеXвi-ом эксперименте;n– число экспериментов.

Отметим некоторые свойства математического ожидания.

Свойство 1:Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий

.

Свойство 2:Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

Свойство 3:Постоянный множитель случайной величины может быть вынесен за знак математического ожидания

.

Свойство 4:Математическое ожидание постоянной величине равно самой постоянной

.

Свойство 5:Математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания равно нулю

.

Дисперсияσ²_xслучайной величиныXилисреднее квадратическое отклонениеσ_xхарактеризуют разброс случайной величины относительно среднего значения

.

Статистическая оценка дисперсии определяется по формуле

.

Рассмотрим некоторые свойства дисперсии

Свойство 6:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсией этих величин

.

Свойство 7:Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

.

Свойство 8:Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Отметим ещё одно свойство, важное для генерирования нормального распределения случайны величин

Свойство 9:Еслиnнезависимых случайных величинX₁,X₂,…X_nимеют одинаковые произвольные законы распределения, то закон распределения суммы этих величин приближается к нормальному, при неограниченном ростеn.

Последнее свойство является следствием центральной предельной теоремы. Неплохая для практики точность моделирования нормального распределения достигается уже при n=5.