критерии Коши

1.8.Теоремы о существовании предела последовательности

1.8.1.Критерий Коши. Изучим в этом параграфе одну из важнейших теорем математического анализа, имеющую многочисленные аналоги в других разделах математики (и самого математического анализа).

Определение 1.8.1. Последовательность называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа ε > 0 найдется такой номер N N, что из n > N и m > N следует выполнение неравенства |xm − xn| < ε. Условие, которому удовлетворяет фундаментальная последовательность,

называется условием Коши.

последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство. Покажем сначала необходимость, т.е. что из существования

т.е. условие Коши выполнено.

Перейдем к доказательству достаточности условия Коши для сходимости последовательности {xn}.

Пусть {xn} фундаментальна. Разобьем доказательство на три этапа.

1)Покажем ограниченность фундаментальной последовательности. Для любого

ε> 0 существует номер N такой, что из k > N, m > N следует

Пусть теперь ε = 1, а m = N +1. Тогда xN+1 − 13 < xk < xN+1 + 13. Подчеркнем, что

в последнем неравенстве k произвольно (k > N), а xN+1 − 13 и xN+1 + 13 есть некоторые

константы. Это означает, что последовательность {xk}, k > N, ограничена. Но элементов, имеющих номера k 6 N, конечное число, значит вся последовательность

ограничена.

2)Построение последовательности вложенных отрезков.

–28 –

Пример 1.8.4. Последовательность xn = 1 + 12 + · · · + n1 . Покажем, что и

эта последовательность не является фундаментальной, а поэтому расходится. По аналогии с предыдущим примером проверим, что выполняется условие отрицания

1.8.2. Теорема Вейерштрасса.

Определение 1.8.2. Последовательность называется

возрастающей, если для любого n N выполнено неравенство xn 6 xn+1; строго возрастающей, если для любого n N выполнено неравенство xn < xn+1; убывающей, если для любого n N выполнено неравенство xn > xn+1;

строго убывающей, если для любого n N выполнено неравенство xn > xn+1.

Последовательности этих четырех видов называются монотонными.

Иногда возрастающие последовательности называют неубывающими, строго возрастающие возрастающими, убывающие невозрастающими, а строго убывающие убывающими. Поэтому в случае непонимания нужно обращаться к определению.

Пример 1.8.5. Пусть x1 = 0; x2 = 0, α1; x3 = 0, α1α2; . . . ; xn = 0, α1α2 . . . αn−1;

. . . , где αi произвольная цифра. Легко видеть, что указанная последовательность

возрастающая.

Определение 1.8.3. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что n N xn < M. Аналогично определяется

последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

Доказательство.

Необходимость. Так как любая сходящаяся последовательность ограничена, то она ограничена сверху.

Достаточность. Нужно доказать существование предела у возрастающей последовательности, ограниченной сверху. Обозначим эту последовательность {xn}. По условию xn 6 M для всех n N и для некоторого M. Тогда существует и точная верхняя граница этого множества B = sup{xn}. По определению точной верхней

n N

границы для любого ε > 0 найдется элемент xN {xn} такой, что B − ε < xN 6 B. Но так как последовательность {xn} возрастающая, то при любом n > N получим

B − ε < xN 6 xn 6 B, т.е.

|B − xn| = B − xn < ε.

– 30 –

Замечание 1.8.1. Аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для убывающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае

lim xn = inf {xn}.

n→∞ n N

Замечание 1.8.2. Ограниченность сверху (снизу) возрастающей (убывающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности.

наша последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число членов последовательности, как видно из определения предела, не влияет на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел убывающей

Перейдем к пределу при n → ∞ в этом соотношении. Предел левой части