dinamics_exc
.pdfСАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РАДИОФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ
Л.А.Бабенко
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
Учебное пособие
2006
2
Содержание
Предварительные замечания…………………………………………………….3
Некоторые операции векторного анализа………………………………………6
•Немного о векторах и криволинейных системах координат……………7
•Градиент скалярного поля………………………………………………..10
•Дивергенция векторного поля……………………………………………12
•Ротор (»вихрь») векторного поля………………………………………..15 Система уравнений и общие понятия электростатики………………………..18 Стационарное магнитное поле………………………………………………….26
Плоские электромагнитные волны……………………………………………..30
•Поляризация волн………………………………………………………...36
•Волновые явления на границе двух сред………………………………..37 Волны в прямоугольном волноводе……………………………………………41
Элементарный электрический излучатель……………………………………..48
Упражнения и задачи……………………………………………………………54
•Векторный анализ………………………………………………………...54
•Электростатика……………………………………………………………54
•Стационарное магнитное поле…………………………………………...57
•Плоские электромагнитные волны………………………………………59
•Волноводы………………………………………………………………...62
•Излучение волн……………………………………………………………64
3
Нет лучшего метода сообщения уму знаний, чем метод преподнесения их в возможно более разнообразных формах. Максвелл
Предварительные замечания
Классическая, или максвелловская, теория электромагнитного поля учитывает только макроскопические свойства вещества: предполагается, что размеры рассматриваемой области пространства и расстояние от источников поля до рассматриваемой точки велики по сравнению с размерами молекул, а характерное для изменения электромагнитного поля время (например, период колебаний) велико по сравнению со временем, характерным для внутримолекулярных колебательных процессов.
Электромагнитное поле описывают следующие векторные функции координат и времени: Er = Er(r, t) – напряженность электрического поля [B/м],
r r |
r |
H = H (r, t) – напряженность магнитного поля [A/м], |
D = D(r, t) – |
электрическая индукция [Кл/м2], B = B(r, t) – магнитная индукция [Tл].
Электрический заряд q (или Q) – фундаментальное свойство вещества. Существуют положительные и отрицательные заряды. Заряд дискретен. Наименьший по абсолютной величине отрицательный заряд |e| = 1,6 10-19 Кл. В макроскопической электродинамике структура материи игнорируется, среда представляется сплошной, а заряды и токи – непрерывно распределенными в объеме (иногда – на поверхности). Используют понятие
плотности заряда ρ, как характеристики источника ρ = , ∆q –
заряд малого объема ∆V. Как мал объем? Достаточно мал, чтобы следовать изменению ρ, но большой, чтобы содержать большое число дискретных зарядов. Заметим, что куб с ребром в 1микрон (10-6 м) при объеме V=10-18 м3 содержит 1011 атомов.
4
Если считать, что заряд ∆q принадлежит элементу поверхности ∆S или элементу длины ∆l, то следует определить поверхностную ρs и линейную ρl
плотность заряда. ρs = lim |
∆q |
, |
ρl = lim |
∆q |
∆S→0 |
∆S |
|
∆l→0 |
∆l |
Названные плотности заряда являются функциям координат и времени. Изменение заряда во времени – это ток. I = - dq / dt [Кл / с = А]. Ток – функция времени. Он следует через ограниченное пространство. Точечная
|
|
|
|
|
r |
|
r |
r |
|
r |
∆I |
|
|
характеристика – плотность тока проводимости |
j |
= |
j |
(r |
, t)= |
lim i0 |
|
. |
|||||
∆S |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆S→0 |
|
||
r |
r |
dI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
= i0 |
|
- |
это ток через единичную площадку, |
|
расположенную |
|||||||
dS |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярно направлению тока. Для хороших проводников ток высокой частоты распределен в поверхностном слое, а не по объему. Поэтому определяют поверхностную плотность тока js как ток через единицу длины на поверхности, перпендикулярную направлению движения.
Плотность тока и плотность заряда не являются независимыми, они связаны
законом сохранения заряда. Из определения следует q = ∫ρdv , |
I = ∫ j dsr |
V |
S |
Если заряд q, содержащийся в объеме V с поверхностью S, не остается постоянным, значит, поверхность пересекают носители заряда, проходит ток.
div rj + ∂∂ρt = 0 Это дифференциальная форма закона. Непрерывные ρ и rj связаны по закону точечного соответствия.
Напряженность электрического поля E определяют как силу, с которой электрическое поле действует на точечный положительный единичный заряд
Er = F |
q |
или точнее, Er = lim |
F |
|
q |
||||
|
q→0 |
Сила, с которой электромагнитное поле воздействует на точечный электрический заряд, зависит не только от величины и местоположения заряда, но и от скорости его движения. Эту силу обычно раскладывают на
5
две: электрическую и магнитную. Электрическая сила не зависит от движения заряда Frэ = qE . Магнитная сила зависит от величины и направления скорости vr движения заряда и всегда перпендикулярна ей:
Frм = q vr× Br, B – вектор магнитной индукции, характеризующий силовое воздействие поля, [Тл]. Магнитная индукция численно равна силе, с которой магнитное поле действует на точечный единичный положительный заряд,
движущийся с единичной скоростью перпендикулярно линиям вектораB .
В макроскопической электродинамике векторы |
D и Er, Br и H связаны |
соотношениями, зависящими от свойств среды. |
|
r r |
r |
D = D(E), D = ε0εr E, B = B(H ), |
B = µ0 µr H |
Постоянный коэффициент ε0 называется электрической постоянной. Его
величина зависит от выбора системы единиц. В системе СИ ε0 = 10−9 (Ф / м) 36π
µ0 – постоянная величина, называемая магнитной постоянной, значение и
размерность которой зависят от выбора системы |
единиц. |
В системе СИ |
µ0 = 4π10−7 (Гн/м). |
|
|
Свойства среды характеризуются параметрами εr, |
µr и σ |
(σ - удельная |
проводимость среды). Материальные среды обладают электрической проводимостью. Под действием электрического поля в них возникает ток, называемый током проводимости. Его плотность определяется законом Ома в дифференциальной форме: j = j(E), j =σ E . Перечисленные уравнения называют материальными, или уравнениями состояния.
Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопической электродинамике, подчиняются законам, впервые сформулированным в виде
6
дифференциальных уравнений Дж. К. Максвеллом и опубликованным в 1873 году.
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
∂D |
|
r |
|
|
(1) |
rotH = |
|
+ |
j |
, (2) |
|
∂t |
||||||
|
|
|
|
|
r |
∂B |
|
|
r |
|
rotE = − |
|
, (3) divD = ρ, |
(4) |
divB = 0 |
|
∂t |
|||||
|
|
|
|
Все величины, входящие в уравнения, являются функциям координат
(радиус-вектораr0 ) и времени t. Плотность электрического тока j и
плотность заряда ρ характеризуют распределение источников электромагнитного поля в пространстве и во времени.
Уравнения в интегральной форме:
∫ |
r |
r |
= |
d |
∫ |
r |
r |
+ I |
(1’), |
|
∫ |
r |
r |
= − |
d |
r |
r |
|
H dl |
|
D ds |
|
E dl |
dt |
∫B ds (2’) |
||||||||||||
L |
|
|
|
d t S |
r |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
S |
|
||
|
|
|
|
|
|
r |
|
(3’), |
∫ |
|
r |
= 0 |
(4’). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∫ D |
ds = q |
B ds |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения, показывающие связь между значениями векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называются
граничными условиями.
На поверхности раздела двух сред должны выполняться следующие граничные условия для нормальных и касательных составляющих векторов:
D1n – D2n = ρs или |
r |
r |
ρs ; |
В1n |
–B2n = 0 |
или |
r |
|
r |
r |
(D1 |
− D2 )n0 = |
(B1 |
− B2 )n0 = 0 |
|||||||
r |
r |
r |
H1τ - H2τ |
= jsν или |
r |
r |
|
− H 2 ) = js . |
||
Е1τ - Е2τ = 0 или (E1 |
− E2 ) × n0 = 0; |
n0 |
× (H1 |
|||||||
Эти соотношения |
справедливы |
для |
электромагнитных |
|
процессов, |
рассматриваемых в макроскопической электродинамике.
Некоторые операции векторного анализа.
Формально поля определяются заданием в каждой точке рассматриваемой области пространства некоторой скалярной и векторной величины. Эти величины являются функциями четырех переменных – пространственных координат и времени.
7
Немного о векторах и криволинейных системах координат.
r |
r |
|
|
|
r |
A |
A |
|
||
|
|
|
||||||||
Вектор A = a0 A имеет длину (модуль) A = |
A |
|
и направление. a0 = |
|
r |
= |
|
. |
||
|
|
A |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a0 - вектор единичной длины (орт), совпадающий с направлением вектора A |
|
|||||||||
Скалярное произведение двух векторов |
A B = AB cosθAB - скаляр. Если два |
вектора ортогональны, очевидно, что их скалярное произведение равно 0.
При перестановке векторовA B = B A
Векторное произведение двух векторов A × B = nr0 AB sinθ AB - это вектор,
абсолютная величина которого равна площади параллелограмма,
построенного на векторах A и B , а направление совпадает с направлением нормали к плоскости, содержащей оба рассматриваемых вектора, и
определяется из условия образования правой системы с векторами A и |
B . |
|||
|
r |
|
|
|
Векторное произведение не коммутативно A × B = −B × A . |
|
|
|
|
Смешанное произведение векторов |
r |
r |
r |
- |
A (B ×C) = B (C × A) = C (A × B) |
||||
|
r |
r |
r |
|
скаляр. Двойное векторное произведение A × (B ×C) = B(A C) − C(A B) . |
|
Положение точки в пространстве определяется радиус – вектором R , координаты которого (u1, u2, u3) зависят от принятой системы координат. Положение точки можно однозначно определить пересечением трех поверхностей, семейства которых описываются, как u1=const, u2=const, u3=const. Пересечение двух поверхностей дает координатную линию; значения двух координат на этой линии постоянны, третья меняется. Координаты точки называют криволинейными. Система координат называется ортогональной криволинейной, если касательные к координатным линиям в каждой точке пересекаются под прямым углом. Эти касательные называются координатными осями. Их направление меняется от точки к точке.
8
au 3
поверхность u1=const
aru1 |
P |
au 2 |
поверхность u3=const
0
Пусть aru1 , aru 2 , au 3 - единичные векторы в трехмерной системе координат.
Для правовинтовой ортогональной системы
aru1 × aru 2 = aru 3 , au 2 × au 3 = au1 , au 3 × au1 = aru 2 .
Вектор, как сумма компонент по трем ортогональным направлениям
Ar = aru1 Au1 + aru 2 Au 2 + aru 3 Au 3 ,
модуль вектора A = |
r |
+ A2 |
+ A2 |
. |
A = A2 |
||||
|
u 1 |
u 2 |
u 3 |
|
Скалярное произведение векторов
r r |
+ au 2 Au 2 |
+ au 3 Au 3 ) (au1 Bu1 + au 2 Bu 2 + au 3 Bu 3 ) = |
||||||
A B = (au1 Au1 |
||||||||
|
= Au1 Bu1 + Au 2 Bu 2 + Au 3 Bu 3 . |
|||||||
Векторное произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
aru1 |
aru 2 |
aru 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
A × B = |
Au1 |
Au 2 |
Au 3 |
|
= |
||
|
|
|
|
Bu1 |
Bu 2 |
Bu 3 |
|
|
= aru1 (Au 2 Bu 3 − Au 3 Bu 2 ) + au 2 (Au 3 Bu1 − Au1 Bu 3 ) + au 3 (Au1 Bu 2 − Au 2 Bu1 ) /
Смешанное произведение векторов |
|
|
|
|
||
r |
r |
r |
|
Cu1 |
Cu 2 |
Cu 3 |
|
||||||
C |
(A × B) = |
|
Au1 |
Au 2 |
Au 3 |
|
|
|
|
|
Bu1 |
Bu 2 |
Bu 3 |
При вычислении линейных, поверхностных или объемных интегралов необходимо вычислить приращения изменения длины через приращения
9
координат. В криволинейной системе координат изменение координаты ui на dui приводит к перемещению dli вдоль координатной линии: dli = hi dui (i = 1,2,3), где hi зависят от вида координат и называются коэффициентами Ламэ. Когда координаты являются длиной, как, например, координаты декартовой
системы, эти коэффициенты равны 1. |
|
|
|||
Направленное изменение длины |
в |
произвольном направлении можно |
|||
записать |
r |
r |
r |
r |
или |
dl |
= au1dl1 + au 2 dl2 + au 3 dl3 |
||||
r |
r |
|
r |
r |
(h3 du3 ) . |
dl |
= au1 |
(h1du1 ) + au 2 |
(h2 du2 ) + au 3 |
Изменение объема dv, образуемое изменением координат:
|
dv = h1h2 h3 du1du2 du3 |
К ортогональным |
криволинейным системам координат относятся |
прямоугольная (или декартова), цилиндрическая и сферическая система а) Прямоугольные координаты. (u1 , u2 , u3 ) = (x, y, z)
Точка Р (x1, y1, z1) определяется пересечением трех плоскостей x = x1, y = y1,
z = z1. Радиус – вектор точки Р |
OP = arx x1 + ary y1 + arz z1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор A = ax |
Ax + a y Ay |
+ az Az . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициенты Ламэ h1= h2 = h3 = 1. Элемент объема dv = dx dy dz |
|||||||||||||
Векторный дифференциал длины dl = arx dx + ary dy + arz dz . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Векторный дифференциал поверхности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dSx = arx dydz , |
dS y = ary dxdz , dS z = arz dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Цилиндрические координаты |
(u1 , u2 , u3 ) = (r,ϕ, z) . |
|
|
arz |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Точка Р (r1, φ1, z1) определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
aϕ |
|||||
пересечением поверхности цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z=z1 |
|
|
|||||||||||
|
r=r1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
радиуса r = r1, полуплоскости φ = φ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и плоскости z = z1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar |
|
||
Коэффициенты Ламэ h1 = h3 = 1, |
h2 = r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ=φ1
10
Элемент объема dv = r dr dφ dz
Векторный дифференциал длины dl = arr dr + arϕ rd r + arz dz .
Векторный дифференциал поверхности:
dSr = arr rdϕd z , dSϕ = arϕ drd z , dS z = arz rd rdϕ .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aR |
|
|
|
|
в) Сферические координаты (u1 , u2 , u3 ) = (R,θ,ϕ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aϕ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
θ=θ1 |
|||||||||||||||
Точка Р (R1, θ1,φ1) определяется пересечением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поверхности сферы радиуса |
R = R1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R=R1 |
|
|
|
|
|
|
|
aθ |
|
|
||||||||||
поверхности конуса с углом раскрыва |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 θ = 2 θ1 и полуплоскости φ = φ1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициенты Ламэ h1 = 1, h2 = R, h3 = R sinθ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
φ=φ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Элемент объема dv = R2 sinθ dR dθ dφ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Векторный дифференциал длины dl = arR dR + arθ Rdθ + arϕ R sinθ dϕ . |
|||||||||||||||||||||
Векторный дифференциал поверхности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d S |
R |
= ar |
R 2 sinθ dθ dϕ , dS |
θ |
= ar R sinθ dR dϕ , |
dS |
ϕ |
= ar |
ϕ |
R dR dθ . |
|||||||||||
|
R |
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В векторном анализе производятся специальные операции дифференцирования и интегрирования по отношению к соответствующим функциям пространственных координат.
Градиент скалярного поля.
Рассмотрим способ описания изменения в пространстве скалярного поля в фиксированное время. По трем пространственным координатам могут существовать частные изменения, причем скорость изменения может быть различной в разных направлениях. Вводят вектор, определяющий скорость изменения скалярного поля в данной точке в данное время. Пусть v (u1, u2, u3)
– скалярная функция координат. Величина v зависит от положения точки в пространстве. Вектор, величина и направление которого совпадают с