EL_-STATIKA_2a_diel-ki

1

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Глава 2. Электростатика в веществе.

Введение.

Уже первые эксперименты в области электричества установили, что вещества различаются по своей способности сохранять «нечто электрическое». Некоторые вещества можно легко наэлектризовать трением и удерживать их в таком состоянии, другие же не могут быть наэлектризованы таким образом, поскольку они не сохраняют электрическое «нечто». На этом основании экспериментаторы начала XVIII века стали разделять вещества на электрики и неэлектрики. Примерно в 1730 г. англичанин Стефан Грэй произвел опыты, в которых с помощью хоть и довольно плохо, но проводящей веревки сумел передать «электрическое нечто» от одного тела к другому на расстояние в несколько сотен метров. Обнаружив различие между проводимостью и непроводимостью, исследователи заметили, что даже неэлектрик можно сильно наэлектризовать, расположив на стекле или подвесив на шелковых нитях. Наиболее эффектным опытом, демонстрировавшимся на одной из популярных в середине XVIII века выставок по электричеству, была электризация мальчика, подвешенного на шелковых нитях: его волосы вставали дыбом, а с кончика носа можно было снимать искры. После работ Грэя и его современников электрики и неэлектрики стали называть, соответственно, электрическими изоляторами и электрическими проводниками. Это различие в свойствах вещества до сих пор является одним их наиболее поразительных контрастов природы.

2.1. Макро и микрополя в веществе.

Как сегодня хорошо известно, вещество состоит из молекул и атомов. Размеры ядер и электронов малы по сравнению с размерами атомов – атомное ядро примерно в 105 раз меньше размеров атома. Поэтому на долю

заряженных частиц приходится очень маленький объем, составляющий примерно 10−15 от занимаемого телом пространства. Весь остальной объем – это вакуум. Находящиеся в непрерывном движении электроны и ядра, в состав которых входят положительно заряженные протоны, возбуждают в нем электрические и магнитные поля.

Электрическое поле в этом “ пустом пространстве”, т.е. в разных точках атомов и в промежутках между ними, меняется очень сложным образом как в пространстве, и во времени. Это электрическое поле называют микрополем E микро. Распределение электронов и протонов, являющихся источником этого поля, образуют, так называемую, микроплотность зарядов ρ микро. E микро и ρ микро нельзя измерить путем внесения пробного заряда, т.к. даже наименьший заряд - заряд электрона e - при его помещении в интересующую точку существенно исказит как микрополе, так и микроскопическое распределение заряда.

Задание E микро и ρ микро во всех точках пространства и времени дает наиболее детальное описание поля,

однако оно практически неосуществимо при описании макропроцессов в веществе. Да и сам результат получился бы настолько сложным, что его просто нельзя было бы использовать. Однако для решения макроскопических задач знание такого поля совершенно не требуется. Для многих целей достаточно более простого и грубого описания, отвлеченного от атомистического строения вещества и мелкомасштабных изменений поля.

Лоренц показал как, исходя из представлений о микрополях, можно прийти к уравнениям для описания макросостояний в телах. Переход к макрополям и макроплотностям происходит путем усреднения микрополей по пространству и времени (заметим, что после пространственного усреднения временное усреднение уже не

малым в сравнении с макровеличинами), т.е. его линейные размеры должны быть во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно.

Усреднение по таким объемам сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения макрополя на микроскопических расстояниях.

3

Молекулы диэлектрика можно условно подразделить на два типа:

а) неполярные молекулы: в отсутствие внешнего электрического поля ( E = 0 ) они не имеют дипольного

момента ( Ri = ). Это симметричные молекулы: Н2, О2, N2, CH4 и другие.

p 0

Поляризация таких молекул происходит при смещении под действием внешнего электрического поля отрицательных зарядов (электронов атомной оболочки) относительно положительных (ядер), в результате чего

различен для разных диэлектриков.

R

Как правило, приложенное поле E значительно слабее внутренних атомных полей и поэтому практически не влияет на величину дипольного момента молекулы (т.е. рассматривается “ жесткий диполь”), а только

противоположную.

Относительные смещения зарядов очень малы, т.к. внутриатомное электрическое поле очень велико. Так в атоме водорода на электрон действует электрическое поле со стороны ядра, равное

E = e r 2 ~ 107 CGSEE = 1011 В м .

Это поле значительно превышает обычные технически достижимые внешние электрические поля.

При выключении электрического поля поляризация диэлектрика в течение короткого времени исчезает. Однако существуют диэлектрические материалы, поляризованные даже в отсутствие внешнего

электрического поля.

Примечание. В кристаллических диэлектриках, где ионы разных знаков расположены в определенном порядке, поляризация может существовать и при отсутствии внешнего электрического поля. Обычно она не проявляется, т.к. возникающее электрическое поле компенсируется полем свободных зарядов, натекающих на поверхность кристалла извне и изнутри.

Нарушение компенсации, приводящее к временному появлению электрического поля в кристалле, происходит в пироэлектриках – при изменении температуры кристалла и в пьезоэлектриках – при деформации кристалла. Разновидностью пироэлектриков являются сегнетоэлектрики, в которых поляризация может существенно изменяться под влиянием внешних воздействий.

Поляризация в отсутствии электрического поля может наблюдаться также в некоторых веществах, относящихся к смолам и стеклам – электретах. Электреты – электрические аналоги постоянных магнитов – длительное время сохраняют состояние поляризации, после снятия внешнего воздействия, вызвавшее её, благодаря чему создают электрическое поле в окружающем пространстве.

5

Уравнение (2.5) можно интерпретировать следующим образом: связанный заряд на поверхности появляется при включении внешнего поля как заряд проходящий (смещаемый) из объема через ограничивающую его поверхность.

2.2.4.Теорема Гаусса для вектора поляризации.

Впредыдущем пункте мы имели дело с однородной поляризацией, когда связанный (поляризационный) заряд появляется только на поверхности. При неоднородной поляризации (которая может возникнуть из-за неоднородности вещества, изменения поля и т.д.) появляются объемные связанные заряды. Найдем плотность

получаем, что суммарный связанный заряд, прошедший через поверхность любой формы, равен нулю q′ = 0 .

V

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для вектора поляризации:

Поскольку последнее соотношение справедливо для любого выбранного объема, подынтегральные выражения

R

Физическая интерпретация соотношений (2.7) и (2.10), (т.е. теоремы Гаусса для вектора P в интегральной и

дифференциальной форме) состоит в следующем:

R

источником поля вектора поляризации P (т.е. дипольного момента единицы объема образца) служат связанные (индуцированные) заряды q′ .

R R

Во избежание недоразумений отметим, что поле вектора P , как и поле вектора E , вообще говоря, зависит от всех зарядов, как связанных, так и сторонних. Связанные заряды определяют не само поле вектора поляризованности, а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность S , причем этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность S .

индивидуальные свойства диэлектриков.

В вакууме: α = 0, ε = 1 и D = E .

Примечание: в системе СИ имеем P = αε 0 E; D = (ε 0 + αε 0 )E = ε 0εE; ε = 1 + α .

2) Анизотропные среды. К таким средам относятся прежде всего кристаллические диэлектрики. Для них,

вообще говоря, направления векторов E и P не совпадают. Поэтому связь между поляризованностью

диэлектрика P и напряженностью E электрического поля выражается более общей линейной однородной зависимостью записывается в более общем виде:

j

Здесь αij - безразмерные коэффициенты, зависящие от выбора координатных осей.

В декартовой системе координат можно записать

Совокупность этих 9 коэффициентов {αij } образует тензор поляризуемости диэлектрика.

Аналогично записывается выражение, связывающее векторы электрической индукции D электрической

где δ ij − единичный тензор, определяемый условиями:

δ ij = 1 при i = j и δ ij = 0 при i ¹ j .

Пользуясь законом сохранения энергии можно показать, что тензоры {αij } и {εij } симметричны, т.е.

Т.о., рассматриваемые девятикомпонентные тензоры содержат по 6 независимых величин.

3) Существуют диэлектрики, для которых нет линейной связи между векторами P и E . К ним относятся некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между векторами поляризованности и напряженности электрического поля нелинейная и зависит от предыстории образца, т.е. от предшествующих значений напряженности электрического поля, в котором он находился. Неоднозначная зависимость поляризованности от напряженности приложенного электрического поля называется гистерезисом.

Поведение электретов и аналогичных им видов диэлектриков в электрическом поле можно приближенно описать соотношением вида:

P = P0 + αE ,

где величины P0 и α от напряженности электрического поля E не зависят.

8

2.4. Граничные условия для векторов E и D .

Мы нашли способ описания электрического поля в однородном диэлектрике. Очевидно, что задачи электростатики не исчерпываются рассмотрением однородных бесконечно протяженных сред. Поэтому большой интерес представляет поведение векторов электрического поля на границе раздела диэлектриков.

2.4.1. Граничные условия для нормальных составляющих.

Рассмотрим границу раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε 2 (см.

рисунок). Возьмем цилиндр очень малой высоты ( h 2 << S ), расположив его на границе раздела диэлектриков, как показано на рисунке, и воспользуемся теоремой Гаусса для вычисления потока вектора напряженности электрического поля через границу, разделяющую диэлектрики:

Итак:

R

Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля E терпит разрыв на границе раздела двух диэлектриков.

RR

Аналогично можно сосчитать поток векторов D и P через такую же цилиндрическую поверхность и получить граничные условия для них:

Однако, если на границе раздела диэлектриков нет сторонних зарядов ( σ = 0 ), то нормальная составляющая

R

2.4.2. Граничные условия для тангенциальных составляющих.

Поместим небольшой прямоугольный контур вдоль границы раздела двух диэлектриков, ориентировав его так, как показано на рисунке. Стороны контура, ориентированные вдоль границы раздела должны иметь такую длину a , чтобы на её протяжении поле в каждом из

10

2.4.4. Примеры вычисления полей в диэлектриках.

1) Точечный заряд q в однородном и изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε .

Интересно отметить, что объемная плотность связанных зарядов в рассматриваемом случае равна нулю