Интеграл 2
.pdfКАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.С.Желтухин
Неопределенные интегралы: методы вычисления
КАЗАНЬ 2005
ПЕЧАТАЕТСЯ ПО РЕШЕНИЮ СЕКЦИИ
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОГО СОВЕТА КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Составитель: доцент В. C. Желтухин
В пособии рассматриваются основные приемы и методы вычисления неопределенных интегралов. Рекомендуется студентам первого курса факультета ВМК.
1 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Определение. Функция F (x) в данном промежутке X называется первообразной функции f(x) или неопределенным интегралом от f(x), если во всем промежутке F 0(x) = f(x) èëè
dF (x) = f(x) dx.
Теорема. Если в некотором промежутке X функция F (x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F (x) + C, ãäå C любая постоянная, также будет первообразной для f(x), и наоборот, каждая функция, первообразная для f(x) в некотором промежутке X, может быть представлена в этой форме.
В силу теоремы, выражение F (x) + C, ãäå C произвольная
постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x) dx и обозначается сим-
волом |
Z |
f(x) dx;
âкотором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Выражение f(x)dx называют подинтегральным выражением,
а функцию f(x) подинтегральной функцией.
Операция интегрирования проверяется обратным действием |
||||||||
дифференцированием. Например, |
µ |
3 |
+ C |
¶ |
|
= |
33 + 0 = x2: |
|
Z x2 dx = 3 + C; поскольку |
0 |
|||||||
|
x3 |
|
x3 |
|
|
|
x2 |
Cвойства интеграла |
|
µZ f(x) dx¶0 |
|
1) d Z f(x) dx = f(x) dx; |
èëè |
= f(x): |
ZZ
2)F 0(x) dx = dF (x) = F (x) + C:
Z
(знаки дифференциала d и интеграла взаимно сокращаются, только во втором случае к F (x) нужно прибавить произвольную постоянную).
3
Каждая формула дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функции F (x) производной будет f(x),
приводит к соответствующей формуле интегрального исчисления
Z
f(x) dx = F (x) + C:
Перебрав формулы, по которым вычисляются производные элементарных функций, и добавив некоторые формулы, выведенные дальше, можно составить таблицу интегралов (см. табл. 1).
Правила интегрирования
I) Åñëè a произвольная постоянная, то
|
|
Z |
|
a ¢ f(x) dx = a ¢ |
Z |
f(x) dx: |
||||
II) |
Z [f(x) § g(x)]dx = Z |
f(x) dx § Z |
g(x) dx: |
|||||||
III) Åñëè Z |
f(t) dt = F (t) + C; òî Z |
f(ax + b) dx = a F (ax + b) + C. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Частные случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a) Z |
f(x + b) dx = F (x + b) + C; |
|
|
|
|
||||
|
(b) Z |
f(ax) dx = |
1 |
F (ax) + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
Рассмотрим применение правил интегрирования на примерах.
Z
Ï ð è ì å ð 1. Вычислить интеграл |
(6x2 ¡ 3x + 5) dx. |
|
||||||
. Применим сначала правило II: |
|
3x dx + Z |
|
|
||||
Z (6x2 ¡ 3x + 5) dx = Z |
6x2dx ¡ Z |
5 dx; |
|
|||||
затем правило I: |
3x dx + Z |
5 dx = 6 Z |
x2 dx ¡ 3 Z |
x dx + 5 Z |
|
|||
Z 6x2dx ¡ Z |
dx; |
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||||
|
Основные интегралы от элементарных функций |
|||||||||||||||||||||||||
1) Z |
0 ¢ dx = C: |
x®+1 |
|
2) Z 1 ¢ dx = Z dx = x + C: |
||||||||||||||||||||||
|
|
3) Z x®dx = |
|
|
|
|
|
+ C; ® 6= ¡1: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
® + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4) Z |
|
|
dx = Z |
|
= ln jxj + C; x 6= 0: |
|||||||||||||||||||
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
5) Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= arctg x + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
6) Z |
|
|
|
|
|
dx |
= arcsin x + C; jxj < 1: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
7) Z |
p dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= ln(x + px |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
¡ 1) + C; jxj > 1: |
||||||||||||||||||
|
x2 ¡ 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
8) Z |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p |
|
= ln(x + x2 |
+ 1) + C: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 + 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
9) Z |
ax dx = |
ax |
|
|
|
p |
|
10) Z |
ex dx = ex + C: |
|||||||||||||||||
|
+ C; a > 0; a 6= 1: |
|
||||||||||||||||||||||||
ln a |
|
|||||||||||||||||||||||||
11) Z |
sin x dx = ¡ cos x + C: |
|
12) Z |
cos x dx = sin x + C: |
||||||||||||||||||||||
13) Z |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) Z |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
= ¡ ctg x + C: |
|
|
|
|
|
= tg x + C: |
|||||||||||||||||
|
sin2 x |
|
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||
15) Z |
sh x dx = ch x + C: |
|
16) Z |
ch x dx = sh x + C: |
||||||||||||||||||||||
17) Z |
1 |
dx = ¡ cth x + C: |
|
18) Z |
1 |
dx = th x + C: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sh2 x |
|
|
ch2 x |
5
и напоследок воспользуемся п.п. 2, 3 табл. 1:
|
|
6 Z x2 dx ¡ 3 Z x dx + 5 Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx = 2x3 ¡ |
|
|
|
x2 + 5x + C: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, Z (6x2 ¡ 3x + 5) dx = 2x3 |
¡ |
3 |
|
x2 + 5x + C: / |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ï ð è ì å ð 2. Вычислить интеграл Z (1 + p |
|
)4 dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. Z (1 + p |
|
|
|
)4 dx = Z (1 + 4 p |
|
|
|
+ 6x + 4xp |
|
|
+ x2) dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= Z dx + 4 Z p |
|
|
dx + 6 Z x dx + 4 Z x3=2 dx + Z x2 dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= x + |
|
8 |
x |
3=2 |
+ 3x |
2 |
+ |
8 |
|
x |
5=2 |
|
+ |
1 |
x |
3 |
+ C: / |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
dx. |
|
|||||||||||||
Ï ð è ì å ð 3. Вычислить J = Z ( |
|
3x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1)(x2 |
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z µ |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
¡ x ¡ x2 |
¶ |
|||||||||||||||||||||
. J = |
x3 + x2 ¡ 3x ¡ 3 |
dx = |
|
|
|
|
|
1 |
x + |
1 1 1 |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 3 Z |
|
x dx + |
3 Z |
dx ¡ Z |
|
x ¡ Z |
|
x2 = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
|
x |
|
+ |
|
|
x ¡ ln x + |
|
|
+ C: / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Примеры на применение правила III: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ï ð è ì å ð 4. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) Z |
|
dx |
= ln jx ¡ aj + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x ¡ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2) |
Z |
sin mx dx = ¡ |
1 |
cos mx + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) Z e¡3x dx = ¡ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
e¡3x + C: / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ï ð è ì å ð 5. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
Z |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
arctg |
|
|
+ C: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 + x2 |
a2 |
|
|
|
1 + (x=a)2 |
a |
a |
|
|
6
2) |
Z pa2 ¡ x2 = a Z q1 ¡ (x=a)2 |
= arcsin a + C: / |
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
|||
|
Примеры на все правила: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ï ð è ì å ð 6. . |
|
|
|
dx = |
Z (e2x ¡ ex + 1 ¡ e¡x) dx = |
|||||||||||||
|
Z ( |
|
¡ |
ex |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ex |
|
1)(e2x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
e2x ¡ ex + x + e¡x + C:/ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
Ï ð è ì å ð 7. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z |
2x2 |
¡ 3x + 1 |
dx |
= |
Z |
(2x ¡ 5)(x + 1) + 6 |
dx = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
x + 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z µ2x ¡ 5 + |
|
|
¶ dx |
= x2 ¡ 5x + 6 ln jx + 1j + C:/ |
|||||||||||||
|
x + 1 |
Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облег- чается разложением ее на сумму дробей с более простыми знаменателями.
Ï ð è ì å ð 8. .
|
|
|
x2 1 a2 |
= (x a)(x + a) |
= 21a |
µx a |
¡ x + a¶ |
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
поэтому |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a2 2a |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯x + a |
¯ |
|
|||||||||
Z |
x2 |
¡ |
µZ |
x |
¡ |
a |
|
|
x + a |
¶ |
|
2a |
|
|
|||||||||||||||
|
= 1 |
|
|
|
dx |
Z |
1 |
|
|
|
1 |
ln |
¯ |
x ¡ a |
¯ |
+ C: / |
|||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx = |
¯ |
¯ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
1
Вообще, дробь вида (x + a)(x + b)
áåé:
1 |
|
= |
(x + a) ¡ (x + b) |
1 |
||
|
|
|
|
|
¢ |
|
(x + a)(x + b) |
|
(x + a)(x + b) |
a ¡ b |
разлагается на сумму дро-
= a ¡ b |
µx + b |
¡ x + a¶ |
; |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
поэтому
Ï ð è ì å ð 9. .
Z |
(x + a)(x + b) |
= a |
1 b |
µ |
Z |
x + b ¡ |
Z |
x + a¶ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
= a |
¡ |
b ln |
¯x + a |
¯+C: / |
|||
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
1 |
|
|
¯ |
x + b |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
7
Ï ð è ì å ð 10. |
Вычислить |
|
|
Z |
|
dx |
; B2 ¡ AC > 0: |
|
|
||
|
Ax2 + 2Bx + C |
. Знаменатель дроби разлагается на вещественные множители:
Ax2 + 2Bx + C = A(x ¡ ®)(x ¡ ¯);
ãäå |
|
|
¡B + p |
|
|
|
¡B ¡ p |
|
|
|
® = |
B2 ¡ AC |
; |
¯ = |
B2 ¡ AC |
: |
|||||
|
||||||||||
|
A |
A |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда, в соответствии с примером 9, полагая в нем a = ¡¯, b = ¡®,
получим |
|
|
|
|
|
|
2 pB2 |
|
|
AC |
|
¯Ax + B + pB2 |
|
|
AC |
¯ |
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
Z |
Ax2 + 2Bx + C |
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Ax + B ¡ p |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln |
¯ |
B2 |
¡ AC |
¯ |
+ C : / |
||||||||||||||||||
Ï ð è ì å ð 11. . В частности, |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1) |
x2 |
¡ |
|
|
|
= |
Z |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
¯ |
|
|
= ln ¯x |
¡ |
|
|
|
|
¯ + C: |
|
¯ |
|
|
|
|||||||||
|
5x + 6 |
|
|
(x |
2)(x |
3) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2) |
4x2 + 4x |
¡ |
|
3 |
|
4 |
|
Z |
|
(x |
¡ |
1=2)(x + 3=2) |
|
8 |
¯ |
2x + 3 |
¯ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
dx |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
¯ |
|
|
= |
1¯ |
¯ |
2x |
¡ |
1 |
¯ |
+ C: / |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ln |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элементарных преобразований, также интегрируются при помощи простейших приемов.
. Очевидно, например, что
1 + cos 2mx;
2
следовательно
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
Z |
cos2 mx dx = |
|
Z |
dx + |
|
|
Z |
cos 2mx dx = |
|
x + |
|
sin 2mx + C: / |
2 |
2 |
2 |
4m |
Ï ð è ì å ð 13. . Аналогично,
sin mx cos nx = 12 [sin(m + n)x + sin(m ¡ n)x];
считая m § n =6 0, получим, что
Z
1 1
sin mx cos nx dx = ¡ 2(m + n) cos(m+n)x¡ 2(m ¡ n) cos(m¡n)x+C: /
8
В заключение рассмотрим немного более сложный пример:
Z
Ï ð è ì å ð 14. Вычислить J =
. Òàê êàê
n |
|
|
|
n |
|
|
X |
[sin 2kx ¡ sin(2k ¡ 2)x] = 2 sin x |
|
Xk |
cos(2k ¡ 1)x; |
||
sin 2nx = |
|
|
||||
k=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
||
то подинтегральная функция приводится к 2 |
|
cos(2k ¡ 1)x è èñ- |
||||
комый интеграл |
|
=1 |
|
|
||
X |
|
¡ |
|
|
||
X |
|
|
|
|||
n |
n |
sin(2k |
1)x |
|
||
J = 2 k=1 |
Z cos(2k ¡ 1)x dx = 2 k=1 |
|
|
¡ |
|
+ C: / |
2k |
|
1 |
|
2ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Метод замены переменной или метод подстановки является одним из сильнейших приемов интегрирования функций. В основе
метода лежит следующее простое |
Z |
|
Свойство: если известно, что |
g(t) dt = G(t)+C, то тогда |
|
Z |
|
|
g[!(x)]!0(x) dx = G[!(x)] + C:
(функции g(t), !(x), !0(x) предполагаются непрерывными).
Z
Пусть требуется вычислить интеграл
случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от x
t = !(x);
чтобы подинтегральное выражение представилось в виде
f(x) dx = g[!(x)]!0(x) dx;
ãäå g(t) более удобная для интегрирования функция, чем f(x).
Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл
Z
g(t) dt = G(t) + C;
9
чтобы из него подстановкой t = !(x) получить искомый интеграл.
Обычно пишут просто Z f(x) dx = Z g(t) dt; |
(1) |
подразумевая, что в функции от t, которая представлена интегралом
справа, уже произведена указанная замена.
Z
Ï ð è ì å ð 15. Найдем интеграл sin3 x cos x dx:
t = sin x, преобразуем
sin3 x cos x dx = sin3 x d(sin x) = t3 dt:
Интеграл от последнего выражения легко вычисляется: |
|
Z t3 dt = t44 |
+ C: |
Возвращаясь к переменной x, и подставляя sin x вместо t, получим:
Z |
sin3 x cos x dx = |
sin4 x |
+ C: / |
4 |
При выборе подстановки t = !(x), упрощающей подинтеграль-
ное выражение, необходимо помнить, что в его составе должен найтись множитель !0(x) dx, дающий дифференциал
новой переменной, dt.
Z
Ï ð è ì å ð 16. Вычислить интеграл J = sin3 x dx.
. Здесь подстановка t = sin x непригодна именно ввиду от-
сутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из подинтегрального выражения, в качестве дифференциала новой пе-
ременной, множитель sin x dx, или лучше ¡ sin x dx, то это приведет
êподстановке t = cos x; так как остающееся выражение
¡sin2 x = cos2 x ¡ 1;
этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем |
|||||
J = Z |
sin3 x dx = Z |
¡t2 ¡ 1¢ dt = 3 ¡ t + C = |
3 |
¡ cos x + C: / |
|
|
|
|
t3 |
cos3 x |
|
10