Приложения определенного интеграла

Разбиваем дугу

произвольным образом

точками

,

, … ,

, , где

,

.

Соединяя эти точки последовательно

прямолинейными отрезками, мы получим

ломаную линию, вписанную в дугу

. Длина

этой ломаной

равна сумме длин всех ее сторон.

Обозначим длину наибольшей из сторон

ломаной через

:

.

этих длин

):

.

Если длина кривой существует, то кривая называется спрямляемой. Обозначения

длины кривой:

,

, . Таким образом, имеем:

.

Теорема 1.

Пусть кривая

задается уравнением:

, где

непрерывно

дифференцируемая функция. Тогда

спрямляемая кривая и справедлива формула:

.

Доказательство.

Разобьем график функции

точками , , … ,

, , где

,

,

;

пусть

.

Длина ломаной, вписанной в эту кривую,

равна

, где

По теореме Лагранжа

:

.

Тогда

и

.

представляет собой интегральную сумму для определенного интеграла

.

Так как функция

- непрерывна на

, то

.

Таким образом,

.

Теорема доказана.

Пример 1.

Найти длину дуги кривой

.

,

;

.

Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Теорема 2.

Пусть кривая

задана параметрическими уравнениями:

,

, где

непрерывно дифференцируемые функции.

Тогда

спрямляемая кривая и справедлива формула:

.

Доказательство.

Доказательство проведем для частного случая:

; для

определенности можно считать, что

. Пусть

,

.

Воспользуемся формулой:

и сделаем замену переменной:

. Теорема доказана.

Пример 2.

Длина окружности радиуса .

Окружность можно задать параметрическими уравнениями:

,

.

.

Пример 3.

Длина эллипса

.

Эллипс можно задать параметрическими уравнениями:

,

.

,

где

эксцентриситет эллипса,

.

Таким образом, длина эллипса выражается через так называемый эллиптический

интеграл вида

, где

.

Эллиптические интегралы относятся к числу «неберущихся» интегралов. Для их

вычисления имеются специальные таблицы.

Пример 4.

Найти длину одной арки циклоиды:

,

.

Здесь

,

,

,

.

.

,

, где

непрерывно дифференцируемая функция.

Тогда

спрямляемая кривая и справедлива формула:

Доказательство.

Перейдем к декартовым координатам:

. Тогда кривая

будет

задана параметрическими уравнениями:

,

; роль параметра

здесь играет полярный угол .

По теореме 2 имеем:

.

;

;

.

Следовательно,

.

Пример 5.

Длина кардиоиды

,

.

Учитывая симметричность кардиоиды относительно полярной оси

,

вся ее длина

равна удвоенной длине ее верхней половины.

,

, где

непрерывно дифференцируемые функции,

формула длины дуги имеет вид:

.

Пример 6. Длина одного витка винтовой линии

,

.

Здесь

,

,

.

или

.

Этой формулой можно пользоваться и при параметрическом задании кривой,

ограничивающей криволинейную трапецию:

,

. В этом случае имеем:

.

Таким образом, получаем формулу:

.

Пример 1.

Площадь эллипса

.

Достаточно вычислить площадь

- й части эллипса,

расположенной в первой четверти.

Параметрические уравнения имеют вид:

,

.

.

Таким образом, площадь эллипса равна:

эллипса

.

В частности, при

получаем площадь круга:

круга

.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

.

где

, осью

, прямыми

и

, то в этом

случае ее площадь вычисляется по формуле:

или

,

а в случае параметрического задания кривой

по формуле:

.

Введем понятие обобщенной криволинейной трапеции.

Пусть функции

и

непрерывные функции на

и такие,

что

. Фигура, ограниченная графиками функций

,

и прямыми

,

, называется обобщенной криволинейной трапецией.

Площадь

этой фигуры равна разности

площадей и

криволинейных трапеций,

ограниченных графиками функций

и

:

Если условие:

не выполнено, то площадь

обобщенной криволинейной трапеции можно записать в виде:

.

Пример 3.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

и осью

абсцисс на промежутке

.

заданной в полярной системе координат уравнением

, где

непрерывная функция, и двумя лучами

и

.

Теорема.

Площадь

криволинейного сектора, ограниченного линией

и лучами

,

, вычисляется по формуле:

Доказательство.

.

Выполним следующие действия.

1)

Разбиваем промежуток

на

частичных промежутков точками

.

2)

Проведем лучи

,

. Криволинейный сектор тем самым

разобьется на

частичных секторов.

Пусть

площадь - того сектора, тогда

.

3)

Выбираем промежуточные точки

,

.