5.2.3. Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса- Штейнера).

Для описания движения твердых тел необходимо вычислять тензор инерции относительно разных точек. Так, например, тело может вращаться вокруг различных неподвижных точек и, соответственно, осей. Чтобы избавиться от необходимости каждый раз вычислять интегралы (5.25), (5.26), найдем связь между центральным тензором инерции ,который является неотъемлемым, вычисленным или измеренным атрибутом тела, и тензором инерции в некоторой точке.

Подставляя в определение тензора выражения

,

получим

Все невыписанные слагаемые равны нулю, поскольку они содержат равный нулю множитель (постоянные вектори тензорвыносятся из интегралов). Таким образом, получилиобобщенную теорему Гюйгенса- Штейнера

. (5.24)

Пусть - оси с началом в точке В и базисными векторами, а

параллельные им оси с началом в центре масс (центральные оси) c координатами .

Умножая (5.24) слева и справа скалярно на , получим формулу связи для осевых моментов инерции

или

(5.25)

где квадрат расстояния между осямиX и .

Умножая (5.24) слева на и справа на, получим формулу связи для центробежных моментов инерции

или

. (5.26)

Разумеется, формулы (5.25) и (5.26) легко записываются и для других осей.

Заметим также, что поскольку осевые моменты инерции не зависят от положения точек на осях, часто в формулах (5.25) «имена» точек В и С опускаются.

Из (5.25) следует, что осевые моменты инерции минимальны, если оси центральные (вспомним о центре масс, как о точке, «ближайшей» ко всем точкам тела).

5.2.4. Главные оси и главные моменты инерции.

Начнем с определения:

Если для тензора второго ранга существует вектортакой, что, то числоназывается главным (собственным) значением тензора,собственным вектором, а ось, задаваемаяглавной осью тензора.

Теорема о приведении тензора инерции к главным осям.

Тензор инерции, как и любой симметричный тензор, имеет тройку ортогональных собственных векторов и тройкувещественных собственных значений (главных моментов) , причем:

1. Если собственные значения различны, то собственные векторы определяются единственным образом и тензор инерции имеет вид

2. Если два собственных значения равны, например , то однозначно определяется собственный вектор, алюбые перпендикулярные к(и друг к другу); в этом случае

.

Такой тензор называется трансверсально-изотропным; он не изменяется, если тело вращать вокруг оси изотропии, задаваемой .

3. Если равны все собственные значения , толюбая

ортонормированная тройка и тензор инерции называется шаровым

Эта теорема доказывается в курсе линейной алгебры как теорема о собственных числах (значениях) и собственных векторах симметричной матрицы.

Применительно к тензору инерции ее содержание сводится к тому, что существует, по меньшей мере, одна тройка главных осей, т.е. осей, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю и тензор инерции в этих осях имеет вид

. Поскольку ориентация тройки осей задается тремя параметрами (например, углами Эйлера), то существует возможность сделать равными нулю три центробежных момента.

В некоторых случаях, когда тело обладает каким – либо видом симметрии, то согласно физическому принципу Кюри-Неймана этой же симметрией должен обладать и тензор инерции; тогда главные оси могут быть найдены из соображений симметрии.

Так, например, если тело обладает плоскостью симметрии BXZ , то перпендикулярная ей ось Y является главной (рис.5.3а). Действительно, центробежные моменты и равны нулю, поскольку каждому элементу с координатамисоответствует симметричный с координатами.

Если имеется еще одна плоскость симметрии BYZ, перпендикулярная первой, то ось Х (а, следовательно, и Z) тоже главная: , так что тензор инерции для любой точки В, находящейся на линии пересечения этих плоскостей, имеет вид .

Если тело осесимметричное (рис.5.3б), то любая плоскость, содержащая ось Z , является плоскостью симметрии и, в дополнение ко всему вышесказанному ясно, что ; так что тензор инерциитрансверсально-изотропный:

Если тело обладает осью симметрии «N» - го порядка, т.е. тело переходит «само в себя» при повороте на угол(на рис.5.3вN=5), то можно доказать, что и в этом случае тензор инерции трансверсально-изотропный.