Отчет по лабораторной работе №1
«ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Студент: Галл Р.Д.
Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций, гр. 2097/2
СПбГПУ
Санкт-Петербург
2013 Год Задание №1
Сравнить между собой естественное и стандартное числа обусловленности матрицы а также - точное значение стандартного числа обусловленности с его оценкой, вычисленной процедурой DECOMP.
Для 1 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.733*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.000*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.175*101
(muj2-cond)/muj2 = 41%
Для 2 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.867*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.400*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.933*101
(muj2-cond)/muj2 = 19%
Для 4 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.753*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.347*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.266*101
(muj2-cond)/muj2 = 46%
Вывод: Оценка стандартного числа обусловленности позволяет грубо оценить норму обратной матрицы A. Стандартное число обусловленности из процедуры DECOMP достаточно удобна для использования.
Задание №2
Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем с одинаково хорошо обусловленными матрицами порядка от 3 до 15; провести анализ точности, как функции порядка матрицы; сравнить фактически получаемую ошибку с ее оценками.
Вывод: точность решения падает с увеличением порядка матриц; это связано с большим количеством округлений и математических операций. Оценка ошибки по числу обусловленности, вычисленному процедурой DECOMP, дает результат одного порядка с реальной ошибкой. Кроме того, с ростом порядка матрицы растёт число обусловленности.
Для хорошо обусловленной матрицы 3 типа.
|
Порядок матрицы |
Ошибка решения |
Оценка ошибки |
Ч.О. |
|
3 |
3.638*10-12 |
5.80*10-12 |
4.074 |
|
6 |
1.152*10-11 |
2.25*10-11 |
13.58 |
|
9 |
1.698*10-11 |
4.42*10-11 |
27.26 |
|
12 |
1.789*10-11 |
5.29*10-11 |
44.06 |
|
15 |
3.298*10-11 |
1.29*10-11 |
63.94 |
Задание №3
|
Порядок матрицы |
Ошибка решения |
Оценка ошибки |
Ч.О. |
|
3 |
2.547*10-11 |
3.44*10-11 |
680.8 |
|
6 |
5.458*10-6 |
7.60*10-6 |
2.262*107 |
|
9 |
3.543*10-3 |
2.43*10-1 |
8.130*1011 |
|
12 |
1.163*101 |
8.46*101 |
7.553*1013 |
|
15 |
7.233 |
2.63*101 |
5.783*1013 |
Для плохо обусловленной матрицы 5 типа.
Вывод: для систем с плохо обусловленными матрицами точность падает с увеличением порядка матриц.Оценка ошибки по числу обусловленности выше, чем реальная ошибка решения. Сростом порядка матрицы растёт число обусловленности.
Задание №4
Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем одного порядка, но различной обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих»). Результаты анализа представить в виде зависимости относительной точности решения от числа обусловленности. Обратить внимание на величину нормы вектора невязки и проследить ее зависимость от обусловленности системы и связь с фактической ошибкой решения.
Матрица 5 порядка.
Вывод: при увеличении числа обусловленности матрицы точность решения падает; норма вектора невязки никак не зависит от ошибки решения (и наоборот). Кроме того, норма вектора невязки никак не зависит от числа обусловленности системы.
|
Тип |
Ст. число обусловленности |
Норма вектора навязки |
Ошибка решения |
|
1 |
5.860*101 |
0 |
0 |
|
2 |
5.382*101 |
0 |
0 |
|
3 |
1.000*101 |
1.348*10-10 |
7.276*10-13 |
|
4 |
6.864 |
1.194*10-11 |
1.637*10-12 |
|
5 |
6.941*105 |
1.258*10-12 |
8.069*10-8 |
|
6 |
1.352*1010 |
6.022*10-11 |
1.158*10-5 |
|
7 |
4.944*106 |
3.316*10-13 |
9.040*10-9 |
|
8 |
1.066*107 |
2.347*10-11 |
3.188*10-6 |