Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы существовал предел (конечный) функции f(x) при х→х₀ (х₀ может быть либо конечной точкой, либо ) , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀), и для любого сколь угодно малого >0 существовала такая окрестность V(x₀) точки х₀, что каковы бы ни были точки х₁,х₂V(x₀), х₁,х₂≠х₀ выполняется неравенство |f(х₁)-f(х₂)|<, т.е.

|f(х₁)-f(х₂)|<.

Замечание. В случае, когда х₀=+ под условием понимается, что найдется такое число=(), что х₁>, x₂>.

В случае, когда х₀=- под условием понимается, что найдется такое число=(), что х₁<, x₂<.