Лекция 2: Построение вариационных рядов и вычисление

статистических характеристик (3 часа +2 часа ПЗ)

Основные вопросы лекции:

1. Первичная статистическая совокупность, её упорядочение.

2. Статистическая функция распределения.

3. Группированный статистический ряд.

4. Гистограмма.

5. Выравнивание статистических распределений.

Обзор методов математической статистики

В своей практике естествоиспытателю приходится обрабатывать большие массивы данных, полученных в результате эксперимента путем измерений, наблюдений, анализа проб и т.п. Часто этим данным присуща изменчивость, вызванная случайными ошибками. Природа этих ошибок может быть различной: погрешность измерительных приборов, неоднородность образцов проб и др. Как правило, экспериментатор имеет возможность многократно повторить свой опыт и получить большое количество однородных данных. Затем перед исследователем встает задача обработки этих данных, чтобы извлечь как можно более точную информацию об измеряемой величине. Мы приступаем к изложению базовых принципов и методов статистической обработки данных.

Задачи, решаемые математической статистикой, являются, в некотором смысле, обратными задачам теории вероятностей. Вероятностные задачи, как правило, устроены следующим образом: распределения случайных величин считаются изначально известными, основываясь на знании этих распределений требуется найти вероятности различных событий, математические ожидания, дисперсии, моменты распределений и т.п. В статистических задачах само распределение считается неизвестным, и целью исследования является получение более или менее достоверной информации об этом распределении на основе данных, собранных в результате наблюдений (экспериментов).

Первичная статистическая совокупность её упорядочение

Если наблюдаемая случайная величина Х дискретна, то статистическим аналогом ряда распределения является статистический ряд, полностью аналогичный ряду распределения случайной величины Х, с той разницей, что вместо вероятностей в нём стоят частоты соответствующих событий: . На этом вопросе мы больше не будем останавливаться. Гораздо сложнее (и чаще на практике встречается) задача обработки опытов над непрерывной случайной величиной Х. Первым этапом является описание результатов серии из n независимых опытов, в каждом из которых зарегистрировано значение непрерывной случайной величины Х, и простейшей обработкой этих результатов.

Первым документом полевых измерений является протокол, в котором зарегистрировано значение непрерывной случайной величины и номер опыта k.Такой протокол называют первичной статистической совокупностью. Этот материал является совершенно необработанным.

Пример

Измерено n=100 сопротивлений определённого вида. В таблице 2.1 приведены: номер опыта k и соответствующее значение сопротивления (в Омах).

Рассмотрение и осмысление таблицы такого типа (особенно при большом числе опытов n )затруднительно, и по ней практически нельзя представить себе характер случайной величины Х. Первый этап обработки полученных материалов – это упорядочение полученных данных, расположение в порядке возрастания значений случайной величины. Протокол результатов опыта, в котом они перенумерованы и расположены в порядке возрастания, называют упорядоченной статистической совокупностью. В таблице 2.2 приведены те же данные, что в таблице 2.1, но расположенные в порядке возрастания значений случайной величины Х. Здесь номер значения обозначен i (в отличие от номера опыта k). Если в таблице 2.2 одно и то же значение встречается несколько раз, его пишут столько раз, сколько оно встретилось.

Таблица 2.1 Первичная статистическая совокупность

k	xk	k	xk	k	xk	k	xk	k	xk
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	87 85 91 94 102 80 75 102 99 101 100 120 122 101 88 80 97 92 91 94	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	82 111 115 99 96 101 115 100 97 91 87 116 121 101 123 97 95 88 104 111	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	88 90 101 95 93 92 88 94 98 99 102 101 122 99 97 95 105 112 116 118	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80	108 95 99 92 100 118 103 102 89 90 94 106 112 122 100 92 93 82 111 102	81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100	84 105 110 102 104 107 120 108 107 98 96 106 110 115 95 109 111 103 88 108

Таблица 2.2 Упорядоченная статистическая совокупность

k		k		k		k		k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20		21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40		41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60		61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80		81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

По упорядоченной статистической совокупности типа таблицы 2.2 можно построить статистическую функцию распределения:

(2.1)

Функция F*(x) – разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, равная нулю левее наименьшего наблюдённого значения случайной величины Х и единице – правее наибольшего. Теоретически она должна иметь n скачков, где n – число опытов, а величина каждого скачка должна быть равна 1/n – частоте наблюдённого значения случайной величины Х. Практически, если одно и то же значение наблюдалось несколько раз, соответствующие скачки сливаются в один, так что бщее число скачков равно числу различных наблюдённых значений случайной величины. Каждый скачок в точке равен «кратности» значения в статистической совокупности, делённой на число опытов n.

Например, для данных таблицы 2.3 статистическая функция распределения F*(x) ведёт себя следующим образом: до точки х= 75 (и включая её) она равна нулю; в ней она совершает скачок, равный 1/n = 0,01 и сохраняет значение 0,01 до точки х = 80 (включая её); здесь она делает скачок, равный 2/n = 0,02, становится равной 0,03 и сохраняет это значение до точки х = 82 (включая её) и так далее.

Вычисляя таким образом функцию F*(x), получают таблицу её значений на интервалах между скачками (таблица 2.3).

Таблица 2.3 Таблица значений статистической функции распределения

х	F*(x),	х	F*(x),
x<75 75<x<80 80<x<82 82<x<84 84<x<85 85<x<87 87<x<88 88<x<89 89<x<90 90<x<91 91<x<92 92<x<93 93<x<94 94<x<95 95<x<96 96<x<97 97<x<98 98<x<99 99<x<100 100<x<101	0 0,01 0,03 0,05 0,06 0,07 0,09 0,14 0,15 0,17 0,20 0,24 0,26 0,29 0,35 0,37 0,41 0,43 0,48 0,52	101<x<102 102<x<103 103<x<104 104<x<105 105<x<106 106<x<107 107<x<108 108<x<109 109<x<110 110<x<111 111<x<112 112<x<115 115<x<116 116<x<118 118<x<120 120<x<121 121<x<122 122<x<123 123	0,58 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,77 0,78 0,80 0,84 0,86 0,89 0,91 0,93 0,95 0,96 0,99 1,00

По материалам этой таблицы построен график функции F*(x). Жирными точками, как всегда, помечены значения функции в точках разрыва.

По графику, сделанному по данным таблицы 2.3, можно сделать представление о характере распределения случайной величины Х; разумеется, самое общее представление, так как ясно, что некоторые особенности кривой F*(x) случайны и связаны с выбором именно тех, а не других сопротивлений для измерения. Другие 100 опытов дали бы несколько иной график функции F*(x), но общая тенденция сохранилась бы. При неограниченном увеличении n скачки кривой F*(x) станут более мелкими, кривая станет плавнее и будет приближаться (сходиться по вероятности) к функции распределения случайной величины Х. Этот способ является довольно трудоёмким и на практике применяются другие, более простые способы построения законов распределения случайных величин по опытным данным.