Вышка 2

10.Интеграл как функция пределов. Формула Ньютона- Лейбница.

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b].

T. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;;b] и F(x)- какая- либо её первообразная на [a;b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула

Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница. Если ввести обозначение F(b)-F(a)=F(x)Ι, то формулу Ньютона- Лейбница можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления опре­деленного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от не­прерывной функции f{x) на отрезке [а; Ь], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b) — F(a) значений этой первообраз­ной на концах отрезка [а; Ь].

Если функция f интегрируема на отрезке [a; b], то функция F, определенная по формуле F(x)= J_A^b f(u)du, непрерывна в любой точке x€ [a; b].

11.Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Пусть для вычисления интеграла J f(x) dx от непрерывной функции сделана подстановка х = (t).

T. Если:

1.функция х = (t) и ее производная х' = '(t) непрерывны при t € [α; β];

2. множеством значений функции х = (t)при t €[α; β] является отрезок [а;Ь];

3.(α)=a и (β)=b, то

Формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что:

1.при вычислении определенного интеграла методом подстановка возвращаться к старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки х = (t) применяют подстановку t =g(x);

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

12.Несобственный интеграл первого рода. Признаки сходимости. Главное значение.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +ᴔ]. Если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

Таким образом по определению

В этом случае говорят что несобственный интеграл

сходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-ᴔ; b):

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

где с — произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

13.Несобственный интеграл второго рода. Признаки сходимости. Главное значение.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x= b. Если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

.Таким образом по определению

. Если предел в правой части существует то несобственный интеграл

сходится.

Если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке х=а то полагают

.

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке С отрезка [a;b] то несобственный интеграл второго рода определяется формулой.

14.Геометрические и механические приложения определённых интегралов. Первая и вторая теоремы Гульдена.

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с є (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с; b]. Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала). Первая схема базируется на определении определенного интеграла. 1. Точками х0 = а, x1,..., xn = b разбить отрезок [а;b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» ΔAi (i = 1,...,n): А = ΔA1+ΔА2 +...+ ΔАn.2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ΔAi ≈ ƒ(ci)Δxi. 3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы

15.Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций, их точность.

Пусть на отрезке [a;b], a<b задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл

численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьём основание этой трапеции, т.е. отрезок [a;b] на n равных частей длинной

h=(b-a)/n=X_I-X_I-1 с помощью точек x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b. Можно записать, что X_I=x₀+h*I, где i=1,2,…,n.

В середине С_i=(X_I-1+X_I)/2 каждого такого отрезка построим ординату Y_I=f(c_i) график функции y=f(X). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h*Y_i.Тогда сумма площадей всех n прямоугольников даёт площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближённое значение искомого определённого интеграла.

Формула средних прямоугольников.

16.Квадратурная формула парабол(формула Симпсона), её точность.

Если заменить график функции y=f(x) на каждом отрезке [X_I-1; X_I] разбиения не отрезками прямых как в методах трапеций и прямоугольников а дугами парабол то получим более точную формулу приближённого вычисления интеграла .

17.Функция нескольких переменных. Геометрическое представление функции двух переменных(линии уровня).

Пусть заданно множество D упорядоченных пар чисел (x;y). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x;y) € D сопоставляет одно и только одно число z€ R, называется функцией двух переменных, определённой на множестве D со значениями R, и записывается в виде z=f(x;y) или f: D→R.

При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), a z- зависимой переменной (функцией).

Функцию z = f(x;y), где (x; y)€ D можно понимать как функцию точки M(x;y) координатной плоскости Оху. В частности областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию ограничивающую область называют границей области. Точки области не лежащие на границе называются внутренними. Область состоящая из одних внутренних точек называется открытой. Область с присоединённой к ней границей называется замкнутой .

Значение функции z= f(x;y) в точке M₀(x₀;y₀) обозначают

Z₀ =f(x₀; y₀) или z₀= f(M₀) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке Мо(х₀ ,у₀ ) области D в системе координат Oxyz соответствует точка М(х₀,у₀ ,z₀ ), где Z₀ = f(x₀ ;y₀ ) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некото­рую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f(x; у).

Следовательно геометрических представлением функции двух переменных является поверхность

18.Предел функции нескольких переменных, повторные пределы.

Пусть функция z=F(x;y) определена в некоторой окрестности точки M₀(x₀; y₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z= f(x;y) при х→х₀ и у→у₀, если для любого ε>0 существует

δ >0 такое, что для всех х≠х₀ и у≠у₀ и удовлетворяющих неравенству √((х-х₀)²+(у-у₀)²) < δ выполняется неравенство Ιf(x; y)-AΙ< ε. Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к Мо (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х →х₀ по двум направле­ниям: справа и слева!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число е > О, найдется δ -окрестность точки М₀{х₀;уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Мо, ап­пликаты соответствующих точек поверхности z = f{x;y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на е.

Отметим, что если непрерывная функция f(x)>=0 на промежутке [a; +ᴔ] и интеграл

сходится, то она выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции

Т. (признак сравнения). Если на промежутке [a; +ᴔ] непрерывные функции F9x) и (x) удовлетворяют условию 0<=f(x)<=(x), то из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

T. Если функции u = u(х) и v =v(x) имеют непрерыв­ные производные на отрезке [о;Ь], то имеет место формула

Формула называется формулой 'интегрирования по частям для определенного интеграла.

Абсолютная погрешность:

, М₂-наиб значениеΙf’’(x)Ι на [a;b].

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольни­ков: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяет­ся обычной .Разобьём отрезок [a;b] на n равных частей длины h=(b-a)/n. Абсциссы точек деления a=x₀ , x₁ , x₂ ,…, b=x_n .

Пусть y₀ y₁ y_n – соответствующие им ординаты функции. Тогда расчётные формулы для этих значений примут вид

X_I=a+h*i, Y_I=f(X_I), i= 0,1,2,…,n; h=(b-a)/n.

Абсолютная погрешность

,

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:1) на отрезке [а;b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х є [a;b] — один из параметров величины А;2) находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малую величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = ƒ(х) dx, где ƒ(х), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);3) считая, что dA ≈ ΔА при Δх → 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b: .

В этом случае интеграл слева называют сходящимся если оба несобственных интегралов стоящих справа сходятся.

В случае когда f(x)>0 несобственный интеграл второго рода

(разрыв в точке x=b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пусть на промежутке [a;b) функции f(x) и (х) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0<=f(x)<=(x). Из сходимости интеграла

вытекает сходимость интеграла

.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогич­ными свойствам предела функции одной переменной . Это означает, что справедливы утверждения: если функции f(M) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке Мо этого множества пре­делы А и В соответственно, то и функции f(M) ± g(М), f(M) *g(М),f(M)/g(M)

(g(M)≠0) имеют в точке М₀ пределы, которые соответственно равны А±В, А*В, А/B (B≠0)/

___________

Сложив их имеем

Формула пораболы.

Абсолютная погрешность

Формула параболы даёт точное значение интеграла

во всех случаях когда f(x) многочлен, степень которого меньше или равна трём( тогда f^IV=0)