5 производная - диф-л
.doc
Дифференциальное исчисление.
§1. Понятие производной функции.
Пусть функция определена и непрерывна на промежутке X.
Опр. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
Производную функции обозначают также , . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Выясним геометрический смысл производной. Проведем секущую АВ. Из следуют соотношения: .
При точка В будет двигаться по дуге к т. А, и секущая АВ будет стремиться к положению касательной, т.е.
,
где - угол между касательной к графику в т. и положительным направлением оси Ох. Таким образом, в геометрическом смысле производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Пример 1.Найти производную функции у=х.
Решение. Для любой точки найдем производную:
.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. Для любой точки найдем производную:
Аналогично можно найти производные всех основных элементарных функций.
Производные основных элементарных функций.
Начало формы
Функция |
Производная |
|
Функция |
Производная |
C |
0 |
|
||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
§2. Дифференцируемость функции.
Опр. Числовая функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:
,
где А – некоторое число, - функция от , являющаяся бесконечно малой при .
Утв. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Теорема1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью).
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Док-во. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:
, что соответствует определению непрерывности функции.▲
Теорема 1 является необходимым (но не достаточным) признаком дифференцируемости функции в точке. Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Пример.
Рассмотрим функцию, непрерывную в нуле. Докажем, что функция не дифференцируема в т. х=0.
;
.
Т.к. односторонние пределы в нуле не равны, предел не существует.
§3.Основные правила дифференцирования.
1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
.
2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
.
3. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: ().
Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).
Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение , аргументу приращение . Соответственно, их произведение получит приращение
.
Составим отношение . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:
4. Дифференцирование обратной функции.
Если функция имеет обратную функцию и , то обратная функция дифференцируема в точке , причем
.
5.
Конец формы
Дифференцирование сложной функции.
Если функции и дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: .
Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:
Пример. Найти производную функции .
§4. Уравнение касательной к графику функции.
Выведем уравнение касательной к графику функции в точке .
Будем искать это уравнение в виде у=кх+в.
Т.к. прямая проходит через данную точку, то
, откуда .
Тогда . А поскольку , то
- уравнение касательной.
Пример. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (2;4).
.
.
§5. Производные высших порядков.
Если функция дифференцируема в точке, то она имеет производную в этой точке, которая также является функцией от х и также может быть дифференцируемой.
Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее производной:
.
Вторая производная также может быть обозначена символами , .
Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка:
.
Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например: или .
Опр. Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка: .
Пример. Найти вторую производную функции .
Решение. ;
.
§6. Дифференциал.
Пусть функция определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки .
Тогда существует конечная производная .
По теореме о связи предела и бесконечно малой:
, где - бесконечно малая при . Отсюда
.
Таким образом, приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и бесконечно малого при .
Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента:
.
Рассмотрим функцию у=х и найдем ее дифференциал.
. Таким образом, формула дифференциала может быть записана в виде:
.
Пример. Найти дифференциал функции .
.
Выясним геометрический смысл дифференциала. Из : . Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:
1. d(С)=0;
2. d(u+v)=du+dv;
3. d(uv)=vdu+udv;
4. ;
5. Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.
Пример 1. Найти дифференциал функции .
Решение. Используя свойства дифференциала, получим:
.
Пример 2. Найти дифференциал функции .
Решение. .
Опр. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала функции, т.е.:
.
Аналогично, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала (п-1)-го порядка этой функции: .