Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Рязанский государственный радиотехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

контрольная (комплексные числа) 4вариант

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
175.45 Кб
Скачать
☆

Вариант 4

Задача 1. Записать комплексное число в тригонометрической и в показательной формах; построить вектор, соответствующий данному числу:

z 82 82i

Решение: Вычислим модуль комплексного числа по формуле:

r x2 y2

Получим r 82 2 82 2 128 128

Вычислим аргумент комплексного числа. Так как

arctg y x

 

 

8

2

 

arctg 1

 

Получим

arctg

 

 

 

 

 

 

8

2

 

 

4

 

 

 

 

Запишем число в тригонометрической форме:

 

 

 

 

 

 

 

z 16 cos

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

и в показательной форме

i

z 16e 4

256 16

x 0, то воспользуемся формулой:

Построим вектор, соответствующий данному числу:

для этого на действительной оси выберем единичный отрезок, построим луч,

образующий с действительной осью угол 4 , так как положительный отсчет ведется

против часовой стрелки, а 0, то луч откладываем по часовой стрелке. На построенном луче отложим отрезок, длина которого равна модулю данного комплексного числа, то есть длины 16. Получаем требуемый вектор.

Imz

Rez

4

r 16

Задача 2. Вычислить, используя формулу Муавра. Ответ записать в алгебраической форме:

 

3

 

 

3

4

3

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

Решение: Степень комплексного числа вычисляется по формуле Муавра, для этого сначала надо найти модуль и аргумент этого числа.

Вычислим модуль комплексного числа по формуле: r x2 y2

 

 

3

 

 

2

3 2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3

 

 

27 9

 

 

36

Получим r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

2

4

4

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим аргумент комплексного числа. Так как x 0, то воспользуемся формулой:

arctg

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

1

 

 

 

Получим

arctg

 

2

 

 

 

arctg

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

2

 

3

3

 

 

3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

3

 

cos4

 

 

isin4

 

 

3

 

cos

 

 

 

 

isin

 

 

3

 

cos

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

cos

 

 

isin

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти все различные значения корня n-ой степени; построить векторы, соответствующие этим значениям. Ответы записать в алгебраической форме:

2 23i

Решение: Значения корней n-ой из комплексного числа вычисляются по формуле:

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

n

z n r cos

 

isin

 

, 0,n 1

n

n

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому сначала нужно найти модули и аргументы чисел.

z 2 23i

Вычислим модуль комплексного числа по формуле: r x2 y2 r 2 2 23 2 4 12 16 4

Вычислим аргумент комплексного числа. Так как x 0,y 0, то воспользуемся

формулой: arctg

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

2

 

3

 

arctg

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

То есть

z 4 cos

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

, то значений корня будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

. Так как n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

два, найдем их:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0,

 

 

 

z0

w

 

 

 

 

4 cos

 

 

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

2 cos

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2 cos

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

2

cos

 

 

 

isin

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1,

 

z1

w

 

4

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

cos

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

isin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим векторы, соответствующие найденным значениям, для этого сначала построим окружность радиуса 2 , числу w0 соответствует вектор длины 2, образующий с

действительной осью угол

 

 

 

 

;

 

 

3

2

 

 

числу w1 соответствует вектор такой же длины 2, образующий угол

 

.

3

 

 

 

 

Imz

w1

2

 

 

Rez

 

 

 

0

 

 

 

3

 

 

 

 

 

w0

Задача 4. Решить уравнения:

а) z3 8 0

б) z2 3 4i z 2 6i 0

Решение:

а) z3 8 0

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой сокращенного умножения: a3 b3 a b a2 ab b2 .

Левую часть уравнения преобразуем, используя эту формулу:

z 2 z2 2z 4 0. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

z 2 0

z2 2z 4 0

Из первого уравнения получаем корень z1 2

Второе уравнение является квадратным. Корни квадратного уравнения находятся по

 

z2,3

b D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле:

2a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дискриминант найдем по формуле D b2

4ac

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим D 22 4 1 4 4 16 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2,3

2

 

 

 

 

 

2 i

 

 

 

2 i2

 

 

1

 

i, то есть

 

 

 

 

 

12

4 3

3

Получаем корни

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z3 1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 1

 

i

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) z2 3 4i z 2 6i 0

Уравнение имеет следующие коэффициенты: a 1,b 3 4i,c 2 6i Тогда

D3 4i 2 4 1 2 6i 3 2 2 3 4i 4i 2 8 24i

9 24i 16 8 24i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем корни

 

z

 

3 4i 1

 

3 4i 1

 

, то есть

 

 

1,2

 

 

 

2 1

2

 

z

3 4i 1

 

 

4 4i

 

2 2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

3 4i 1

 

2 4i

1 2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности