9-матем-статистика
.pdf
Числовые характеристики
Пусть статистическое распределение выборки объема n имеет вид:
Выборочное |
среднее |
x |
M X m |
|||||
в |
|
x – среднее |
||||||
арифметическое всех значений выборки: |
||||||||
|
xв 1 xi ni |
|
|
xв xi pi |
|
|||
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
n |
|
или |
|
|
||
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
||
В случае интервального статистического ряда в каче-
стве xi берут середины интервалов.
Выборочная дисперсия Dв – среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от вы-
борочной средней xв :
D |
1 x x |
2 n |
|
D x x 2 |
p |
||||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
в |
|
|
i в |
i |
или |
в |
|
i в |
i |
n i 1 |
i 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно доказать, что Dв может быть вычислена по следующей формуле:
|
1 |
k |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ni xв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Dв |
|
xi |
|
Dв x |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
i 1 |
|
|
или |
|
xв |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
в 
Dв 
В качестве описательных характеристик вариационного ряда x 1 , x 2 ,..., x n используют:
Размах вариации R xmax xmin .
Мода M 0 – варианта, имеющая наибольшую частоту.
Медиана M e – значение СВ, приходящееся на середину ряда:
если n 2k , то |
M |
|
|
x k x k 1 |
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
2 |
||||
|
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
если n 2k 1, то |
M |
x |
|
|||
e |
k 1 . |
|
||||
Задача. Измерили рост 30 наудачу отобранных студентов. Результаты измерений таковы:
Требуется:
1)записать вариационный ряд,
2)построить интервальный ряд,
3)построить полигон частот, гистограмму частостей, график эмпирической функции распределения,
4)найти числовые характеристики выборки.
Решение.
1) Выпишем данные в порядке возрастания, т.е. составим вариационный ряд.
2) По формуле Стерджеса найдем длину интервалов:
размах выборки R xmax xmin 186 153 33
число интервалов m 1 log2 n 1 log2 30 5,907 6
длина интервалов h |
|
R |
|
|
33 |
5,59 6 |
|
|
1 log 2 30 |
||||
1 log2 n |
||||||
начало 1-го интервала xнач xmin h2 153 62 150
Получим интервалы:
рост 150;156 |
156;162 |
162;168 |
168;174 |
174;180 |
180;186 |
ni |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
5 |
3 |
||
pi |
0,13 |
0,17 |
0,2 |
0,23 |
0,17 |
0,1 |
|||
Подсчитаем число студентов |
ni , попавших в каждый |
||||||||
интервал, данные занесем во 2-ю строку. |
|
|
|||||||
Вычислим |
относительные частоты или частость по |
||||||||
|
|
p |
ni |
|
|
|
|
|
|
формуле |
n , где n 30 . |
|
|
|
|||||
i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Полученная таблица и есть интервальный статистический ряд.
3) а) Построим полигон частот, т.е. ломанную, соединяющую точки xi , ni , где xi – середины интервалов.
xi |
153 |
159 |
165 |
171 |
177 |
183 |
|
|
|
|
|
|
|
ni |
4 |
5 |
6 |
7 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Полигон частот выглядит так:
ni
7
6
5
4
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
153 |
165 |
177 |
183 |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|||||||||
б) Построим гистограмму частостей. Длина каждого интервала h 6 .
Найдем высоты каждого прямоугольника по формуле
hi |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, данные занесем в таблицу: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
рост |
|
150;156 |
156;162 |
|
162;168 |
168;174 |
174;180 |
180;186 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
hi |
|
0,022 |
|
|
|
0,028 |
|
|
|
0,033 |
|
0,038 |
0,028 |
0,017 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Построим гистограмму частостей |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0,038 |
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,033 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0,028 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,017 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
150 |
156 |
162 |
168 |
174 |
180 |
186 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) Найдем эмпирическую функцию распределения
|
F |
x |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
30 , при этом X x : |
|
|
|||||||||||||||
по формуле 30 |
|
|
|
|||||||||||||||
x 150 F |
x |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
150 |
x 156 F |
x |
0,133 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
30 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156 |
x 162 F30 x |
|
4 5 |
0,3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
30 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
162 |
x 168 F |
x |
4 5 |
6 |
0,5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
30 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
168 x 174 F30 x |
4 5 6 7 |
0,733 |
||||||||||||||||
30 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
174 |
x 180 F30 x |
4 5 |
6 7 |
5 |
0,9 |
|||||||||||||
|
|
|
30 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
180 |
x F |
x |
4 5 6 7 5 3 |
|
1 |
|||||||||||||
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательно получим:
|
|
|
при x 150, |
|
|
|
0, |
||
|
|
0,133 |
при 150 x 156, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 156 x 162, |
|
|
|
0,3 |
||
F |
x |
0,5 |
при 162 x 168, |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
0,733 |
при 168 x 174, |
|
|
|
|
при 174 x 180, |
|
|
|
0,9 |
||
|
|
|
при 180 x. |
|
|
|
1 |
||
Построим график: |
|
|
|
|
|
|||
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,733 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,133 |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
0 |
150 |
156 |
|
|
174 |
|
||
162 |
168 |
180 |
186 |
|||||
|
||||||||