Формулы полной вероятности и Бейеса
.docxФормула полной вероятности
Пусть событие может наступить или не наступить вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Данные события называются гипотезами, вероятности которых известны, а также известны условные вероятности события при осуществлении каждой из гипотез. Тогда вероятность события можно вычислить по формуле:
(21)
которая называется формулой полной вероятности. Пример 28. В группе 3 отличника, 12 хорошистов и 9 троечников. Вероятность сдать экзамен на пять для отличника равна 0,9; для хорошиста - 0,5; для троечника - 0,2. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент сдаст экзамен на пять. Решение. Пусть ={ студент сдаст экзамен на пять}, тогда можно выдвинуть следующие гипотезы: ={выбранный студент - отличник}, ={выбранный студент - хорошист}, ={выбранный студент - троечник}. Вероятности этих гипотез можно вычислить, используя классическое определение вероятности, испытанию - выбору студента- соответствует 24 исхода, число исходов, благоприятствующих каждой гипотезе, равно соответствующему количеству студентов, тогда , условные вероятности события по отношению к каждой гипотезе соответственно равны . Теперь по формуле (21) получаем . Вопрос. В 1-ом ящике 10 белых и 8 черных шаров, во 2-ом ящике - 9 белых и 6 черных шаров. Из наудачу выбранного ящика берут 4 шара. Событие ={все шары белые}. Какие гипотезы можно выдвинуть?
О составе шаров в ящиках
О составе извлеченных шаров
Из какого ящика взяли шары
Формула Бейеса
Пусть имеется полная группа несовместных событий (гипотез), вероятности которых известны. Производится испытание, в результате которого осуществляется событие . Условные вероятности данного события по отношению к каждой гипотезе тоже известны. В этом случае можно пересчитать вероятности гипотез в связи появлением события , вычислить их можно по формуле:
(22)
которая называется формулой Бейеса ( или Байеса). Пример 29. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе 0,05; на втором- 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом заводе. Решение. Обозначим событие ={деталь бракованная}, ={деталь изготовлена на i-ом заводе}, где i=1,2. . По условию , тогда по формуле (22) находим . Вопрос. Чему равна сумма вероятностей гипотез?
заранее не известно
0,5
1
0