методичка 3649
.docЦель работы: изучение устройства и движения гироскопа под действием момента внешних сил; определение частоты оборотов ротора и момента сил трения в его подшипниках.
Приборы и принадлежности: гироскоп в кардановом подвесе, набор сменных грузов, секундомер, стробоскоп, частотомер.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ, МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА
Гироскопом называется симметричное вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое положение в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла поворачиваться в любом направлении, его закрепляют в кольцах карданового подвеса (рис. 1). Наружное кольцо может свободно поворачи- ваться вокруг вертикальной оси DD. Внутреннее кольцо связано с кольцом горизонтальной осью BB. В кольце укреплен гироскоп, ось вращения которого AA перпендикулярна к осям DD и BB. Центр масс гироскопа находится на пересечении всех трех осей в точке C и при любом повороте колец сохраняет свое положение в Рис.1 пространстве. Такой гироскоп называется свободным или уравновешенным.
Движение гироскопа описывается уравнением моментов:
, (1)
где – момент импульса гироскопа относительно точки пересечения осей;
– момент внешних сил относительно той же точки.
Дальнейшие выкладки поясняются векторной схемой, представленной на рис. 2, где расположение гироскопа и обозначения осей те же, что и на рис. 1.
Пусть вначале М = 0, а угловая скорость гироскопа w0. Тогда , где J0 – момент инерции гироскопа относительно оси вращения AA. Если теперь к оси гироскопа приложить внешнюю силу , то возникает
|
|
|
|
Рис. 2 Рис. 3
момент силы , лежащий в горизонтальной плоскости. Из рисунка видно, что векторы и ортогональны. За время вектор получает приращение , направленное так же, как и вектор , поэтому сила , не изменяя величины вектора , заставляет его конец описывать окружность в горизонтальной плоскости.
Проекция вектора на горизонтальную плоскость за время повернется на угол , причем, как это следует из рис. 2, ее приращение будет
или с учетом (1)
,
где α – угол, который вектор составляет с вертикалью.
Отсюда следует, что угловая скорость вращения вектора вокруг вертикальной оси DD
, (2)
что в векторной форме дает
. (3)
Таким образом, на основании (3) можно утверждать, что под действием момента внешних сил ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , описывая в пространстве конус. Поскольку вектор поворачивается вместе с вектором , а их взаимное расположение не изменится со временем, вращение оси гироскопа при постоянной силе оказывается равномерным. Это вращение называется регулярной прецессией, а величина – угловой скоростью прецессии.
Если ось гироскопа горизонтальна (рис.3), то вместо (2) получим
. (4)
Следует отметить, что приведенные здесь рассуждения справедливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т.е. при
. (5)
Экспериментальная установка (рис.4) состоит из высокооборотного электромотора ЭМ, питающегося постоянным током. Ротор мотора, представляющий собой массивный стальной цилиндр, играет роль гироскопа. Изображенный на рис.4 рычаг С является продолжением оси ротора. Подвешивая к нему различные грузы Р , можно изменять моменты внешних сил , действующих на гироскоп. Мотор укреплен в кольце А и может поворачиваться вокруг горизонтальной оси. Кольцо А укреплено на вертикальном стержне, который может поворачиваться вокруг вертикальной оси аа. Расстояние ℓ от точки подвеса до горизонтальной оси (до центра масс гироскопа) указано на установке.
Рис.4
До сих пор мы предполагали подвеску гироскопа идеальной и пренебрегали силами трения в его осях (подшипниках). Силы трения в гироскопических подшипниках весьма малы, но и они приводят к усложнению прецессии. Так, силы, возникающие при вращении кольца А (см. рис.4), приводят к медленному опусканию оси ротора гироскопа.
В настоящей работе требуется определить частоту оборотов ротора гироскопа по ее регулярной прецессии и рассчитать момент сил трения в его подшипниках.
Из выражения (4) следует, что
, (6)
где М – момент внешних сил, задаваемый сменными грузами Р : М = Pℓ = mgℓ ; J0 – момент инерции ротора; Ω – угловая скорость прецессии.
При постоянном моменте внешних сил М угловая скорость прецессии Ω будет постоянной и ее можно найти, измерив время, за которое ось ротора совершает N оборотов:
. (7)
Число оборотов ротора гироскопа в секунду, очевидно, будет
. (8)
Сняв груз Р , измеряем время с момента выключения питания мотора до его полной остановки, т.е. время выбега tв. По полученным данным на основании выражения (1) можно найти момент сил трения в подшипниках ротора
. (9)
Скорость вращения ротора гироскопа можно определять и непосредственно с помощью частотомера. При этом используются различного рода датчики (механические, индукционные и др.). В случае свободного гироскопа предпочтительно использовать стробоскопический метод измерения частоты вращения.
К достоинствам этого метода следует отнести: наглядность, простоту и автономность. Для определения скорости (частоты) вращения ротора последний освещается стробоскопической лампой, дающей короткие яркие вспышки света. Если частота вращения равна или кратна частоте вспышек, то в момент вспышки ротор оказывается в одном и том же положении и кажется неподвижным. При этом можно рассмотреть его поверхность.
Таким образом, при кажущейся остановке ротора частота его вращения n0 связана с частотой вспышек n1 соотношением
n0 = kn1 , (10)
где k - любое целое число.
Увеличивая частоту вспышек, можно заметить, что следующая “остановка” ротора происходит при частоте вспышек n2 , связанной с частотой вращения ротора n0 соотношением
n0 = (k –1)n2. (11)
Зафиксировав не две, а несколько “остановок” ротора, можно построить график зависимости k(1/nm). Данный график представляет собой прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти частоту вращения ротора n0:.
(12)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
-
Ознакомьтесь с конструкцией гироскопа: найдите ротор гироскопа, внутреннее и наружное кольца карданова подвеса.
-
Установите ось гироскопа в горизонтальное положение, осторожно поворачивая его за рычаг С.
-
Включите питание гироскопа и выждите 3-5 минут для того, чтобы вращение гироскопа успело стабилизироваться.
-
Подвесьте к рычагу С груз Р; при этом должна начаться регулярная прецессия гироскопа. По прецессии определите, в какую сторону вращается ротор. Трение в оси аа приводит к тому, что рычаг С начинает медленно опускаться.
-
Отклоните рычаг С на 5-6˚ вверх от горизонтальной плоскости. Подвесьте к нему груз Р и найдите угловую скорость регулярной прецессии Ω (по числу оборотов рычага вокруг вертикальной оси и по времени прецессии). Наблюдение продолжайте до тех пор, пока рычаг С не опустится на 5-6˚ ниже горизонтальной плоскости, сделав целое число оборотов вокруг вертикальной оси. Опыт повторите не менее трех раз. Результаты измерений занесите в таблицу (часть I):
I II III
№ п/п |
m, кг |
ℓ, м |
t, с |
N |
n0, об/с |
ni, об/с |
n0, об/с |
tв, с |
M, Н/м |
1 2 3 … ср
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
По формуле (8) рассчитайте частоту вращения ротора гироскопа. Длина плеча указана на установке.
-
Снимите груз и подключите стробоскоп и частотомер к сети. Включите стробоскопическую лампу-вспышку и направьте свет от лампы на отверстие в кожухе гироскопа.
-
Установите на стробоскопе диапазон частот 70-140 Гц и верньер в крайнее положение, соответствующее максимальной частоте.
-
Плавно вращая верньер стробоскопа, получите устойчивую картину, при которой четко виден номер на роторе гироскопа и измерьте частоту вспышек стробоскопа ni по частотомеру.
-
Уменьшая частоту вспышек стробоскопа и переходя на второй диапазон частот, зафиксируйте еще 2-3 последовательные “остановки” ротора. Результаты измерений занесите в таблицу (часть II):
-
По полученным данным постройте график зависимости k = f(1/nm).
-
Используя график, найдите частоту вращения ротора n0 как угловой коэффициент прямой. Сравните результаты, полученные при расчете по формуле (8).
-
Выключите гироскоп, включив одновременно секундомер для определения времени выбега tв ротора гироскопа. Опыт повторите еще два раза. Результаты измерений занесите в таблицу (часть III): По формуле (9) рассчитайте момент сил трения в подшипниках гироскопа.
-
Оцените погрешности измерений n0 и Мтр .
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
-
Что называется гироскопом? Каковы его основные свойства.
-
Что называется моментом импульса? Сформулируйте закон сохранения момента импульса.
-
Что называется моментом силы? Как определить направление момента сил?
-
Выведите выражение (8).
-
Почему быстро вращающийся волчок стремится принять вертикальное положение?
-
Что называется прецессией гироскопа? Как изменится скорость прецессии с изменением угловой скорости; с изменением момента сил внешних сил?
-
Где и для какой цели находят применение гироскопы?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
-
Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002. С. 41–43.
-
Савельев И.В. Курс физики. Т.1. М.: Наука, 1989. С. 112–117.
-
Гольдин Л.Л. Лабораторные занятия по физике. М.: Наука, 1983. С. 128-133.