ФизЛаба15Мет_2198
.doc
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Лабораторная работа № 1-5
«ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕЦЕССИИ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2002
Цель работы: изучение устройства и движения гироскопа под действием момента внешних сил; определение частоты оборотов ротора и момента сил трения в его подшипниках.
Приборы и принадлежности: гироскоп кардановый подвес, набор сменных грузов, секундомер, стробоскоп частотомер.
Элементы теории
Гироскоп это – симметричное быстро вращающееся твёрдое тел, ось которого может изменять своё положение в пространстве. Для того, что бы гироскоп свободно мог изменять положение своей оси в пространстве, его закрепляют на кардановом подвесе. Подобный способ крепления гироскопа схематично изображен с помощью векторной схемы на рис.1. Где аа – вертикальная ось вращения; бб – горизонтальная ось вращения; вв – ось вращения самого гироскопа; O – центр масс гироскопа. Из рисунка видно, что при повороте вокруг любой оси гироскоп сохраняет своё положение в пространстве (т.к. в точке все три оси вращения пересекаются в точке O). Такой гироскоп называется свободным.
Движение гироскопа описывается уравнением:
-
, где - момент импульса гироскопа относительно точки пересечения осей; - момент внешних сил относительно точки O.
Дальнейшие выводы будут делаться непосредственно с использованием векторной схемы приведённой на рис.1.
Пусть дано: M = 0, а 0 - угловая скорость вращения гироскопа. Тогда L J00 = const, где J0 – момент инерции гироскопа относительно оси вращения вв. Теперь если к оси гироскопа приложить внешнюю силу , то возникнет момент силы , лежащий в горизонтальной плоскости. Из выражения (1) следует, что векторы и ортогональны. За промежуток времени dt вектор получает приращение , направленное так же, как и вектор , поэтому сила заставляет описывать гироскоп окружность в горизонтальной плоскости, не изменяя при этом величину .
Проекция вектора на горизонтальную плоскость за время dt повернётся на угол d, причём:
-
dL = Lsind,
учитывая (1), выражение (2) можно переписать так:
-
Lsind = Mdt, где - угол, который вектор составляет с вертикалью.
Если учесть, что угловую скорость вращения вектора вокруг оси аа находится по формуле , то из (3) можно выразить :
-
.
В векторной форме выражение (4) записывается следующим образом:
-
.
Таким образом, на основании (5) можно утверждать, что под действием момента внешних сил ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , описывая в пространстве конус. Так как, вектор не меняет своего положения относительно вектора с течением времени, то вращение оси гироскопа при постоянной силе является равномерным. Такое вращение называется регулярной прецессией гироскопа, а - угловой скоростью прецессии.
Если ось гироскопа расположена горизонтально (рис. 2), то уравнение (2) примет вид:
-
Рис. 2
.
Следует иметь в виду, что все приведённые рассуждения справедливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т.е. при
-
0 >> .
Тогда можно считать, что L J00, где J0 – момент инерции гироскопа относительно его собственной оси вращения; 0 – угловая скорость данного вращения. Тогда выражение (4) примет вид:
-
.
При = /2, получаем
-
.
При изучении прецессии гироскопов подобных конструкций следует учитывать силы возникающие в гироскопических подшипниках. Несмотря на то, что данные силы весьма молы, они приводят к усложнению прецессии. Именно из-за их действия ось ротора гироскопа при его вращении медленно наклоняется.
В данной работе требуется определить частоту оборотов ротора гироскопа по его регулярной прецессии и рассчитать момент сил трения в его подшипниках.
Из (9) следует, что:
-
, где M – момент внешних сил, задаваемый неким грузом P; M = pl = mgl; J0 - момент инерции ротора; - угловая скорость прецессии; l – плечо момента силы M; p – сила тяжести груза P, создающего момент M.
При M =const, угловая скорость прецессии тоже будет постоянной и её можно найти измеряя время совершения ротором N-ого числа оборотов:
-
.
Частота вращения ротора равна:
-
.
Сняв груз P и измерив время с момента выключения питания мотора до его полной остановки, т.е. время выбега tв, можно, применив (1), найти момент сил трения в подшипниках ротора:
-
.
Расчётная часть
Физ. Величины |
Опыты |
||
1 |
2 |
3 |
|
Исходные данные |
|
||
m (масса груза P), кг |
0,32 |
||
L (плечо силы), м |
5,510-2 |
||
J0 (момент инерции ротора гироскопа), кгм2 |
3810-3 |
||
Опытные данные |
|
||
N (число оборотов оси гироскопа) |
2 |
||
t (время прецессии), с |
270 |
250 |
265 |
tв(время выбега), с |
450 |
451 |
455 |
ni (число оборотов ротора в минуту), об/мин |
932,4 |
863,4 |
915 |
Mтрi (момент сил трения в подшипниках), Нм 10-3 |
8,24 |
7,61 |
8 |
Последовательно найдём искомые величины, рассматривая экспериментальные данные 1-ого опыта.
Найдём число оборотов ротора гироскопа в минуту (n). Для этого по формуле (12) рассчитаем частоту оборотов ротора (n0).
Гц.
При n01 = 15,54 Гц., n1 = 932,4 об/мин.
По формуле (13) найдём момент сил трения в подшипниках карданового подвеса гироскопа.
Нм.
Аналогично найдём значения ni и Mтрi для опытов 2 и 3.
К опыту 2:
Гц. n2 = 863,4 об/мин.
Нм.
К опыту 3:
Гц. n13 = 915 об/мин.
Нм.
Найдём действительные значения величин и , как средние арифметические значения соответствующих величин (ni и Mi).
; об/мин.
; Нм.
Найдём абсолютные погрешности вычисления данных величин ( и ).
Так как, данные действительные значения величин найдены от i-ого значения аналогичных косвенных величин, то абсолютные погрешности данных величин целесообразно искать по соответствующим формулам ((12) для ni и (13) для Mтрi), подставляя в них вместо i-тых значений измеряемых величин (t и tв), действительные значения величин ( и ), найденных прямыми измерениями.
;
Погрешность найдем через дифференциал изображённой выше формулы по dt:
; при tс = 4,30 (для n = 3).
Для нахождения значения найдём среднеквадратичную погрешность величины t (t):
, при (число измерений (опытов)) n = 3; k = 1,1 (для P = 0,95), c = 1 с.
Действительное значение найдём, как среднее арифметическое значение от ti.
; c.
c.
При данном значении t можно найти .
; ; об/мин.
об/мин.
Аналогичным способом найдём абсолютную погрешность измерения момента сил трения в подшипниках ().
;
Погрешность найдем через дифференциал изображённой выше формулы по dt и по dtв:
; при tс = 4,30 (для n = 3).
Для нахождения значения (при известной t) найдём среднеквадратичную погрешность величины tв (tв):
, при (число измерений (опытов)) n = 3; k = 1,1 (для P = 0,95), c = 1 с.
Действительное значение найдём, как среднее арифметическое значение от ti.
; c.
c.
При данном значении tв можно найти .
; ; ;
Нм.
Итого:
об/мин.
Нм.
-