Анализ электрических цепей постоянного тока

будем называть сопротивлениями. Рассмотрим схе-

I

E

R

U му простейшей цепи, составленной источником

Е=Const и нагрузкой R. Стрелка в изображении ис-

точника показывает направление увеличения потен-

I =

E

=

U

.

R

R

Обратимся к схеме

цепи в виде одного контура с последовательным

I

U1

соединением элементов.

По второму закону

Кирхгофа в замкнутом контуре алгебраиче-

ская сумма эдс равна алгебраической сумме

R1

E

R2

U2

напряжений

U3

E = U1 + U2 + U3; E = I R1 + I R2 + I R3;

E = I (R1 +R2 + R3); RЭ = R1 + R2 + R3.

При последовательном соединении элементов их эк-

R3

вивалентное сопротивление равно сумме составляю-

щих,атоксогласнозакону Ома

I =

E

=

E

.

R + R

+ R

2

3

R

Э

1

Ü Узел А

Следующая цепь образована параллельным

соединением источника и трех сопротивлений.

E

R1

R2

R

В ней четыре ветви соединены в два узла. Та-

3

кую схему, как правило, рисуют иначе. Следует

Ü Узел Б

обратить

внимание,

что в

цепи

по-прежнему

два узла.

Узел А

E

U

R1

R2

R3

I3

I

I1

I2

Узел Б

4

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле равна

нулю. В узле Б:

- I + I1 + I2 + I3 = 0.

Ток I течет от узла, а токи I1, I2 и I3

текут к нему. Ток источника

I = I1 + I2 + I3.

Напряжение U = E приложено к трем сопротивлениям, поэтому

I = U + U +

U = U (

1 +

1 +

1 ) = U (G1 + G2 + G3 ) = U × GЭ .

R1

R2

R3

R1

R2

R3

При параллельном соединении нескольких сопротивлений удобнее вы-

числять общую проводимость, суммируя проводимости элементов.

GЭ = G1 + G2 + G3; I = U GЭ = E GЭ, т.к. U = E.

При параллельном соединении лишь двух элементов их проводимость

удобнее представить эвивалентным сопротивлением.

GЭ = G1 + G2;

RЭ

R

R

1

1

1

R 1 R 2

1

2

=

+

;

R Э

=

.

R

R 2

R 1 +

R

R Э

1

2

Теперь обратимся к схеме цепи со сложным соединением элементов.

U1

По замкнутому контуру

I1 R1

E = U1 + U23.

ß

ß

E

R2

U

R3

I1R1

I 1

R 2

×

R 3

23

R 2

+

R 3

I2

I3

E = I1 R1 +

I1

R2 R3

= I 1 RЭ ;

R2 +

R3

R Э = R 1 +

R 2

R 3

;

I 1

=

E

=

E

.

R 2 + R

R

R 1 +

R

2 R

3

Э

3

Определив ток I1, находим I2 и I3.

R 2

+

R 3

U23

R2 R3

1

R3

U

R R

1

R

I2 =

= I1

×

= I1

×

; I

=

23

= I

2 3

×

= I

×

2

.

R2

R2 + R3

R2

R2

+ R3

3

R

1 R + R

R

1

R

+ R

3

2

3

3

2

3

U1

RЭ = R1 + R2 = 2 +3 = 5 [Ом];

R1 =2 Ом

I = E / RЭ = 20 / 5 = 4 [A];

E=20 В U2

R2=3 Ом

U1 = I R1 = 4×2

= 8 [B];

I

U2 = I R2 = 4×3

= 12 [B].

Задача 2. Определить значения тока I, напряжения U1 и эдс E, полагая

U1

I = U2 / R2 = 12 / 4 = 3 [A];

R1 =3 Ом

U1 = I R1 = 3×3 = 9 [B];

E R2=4Ом

U2=12 B

E = U1 + U2 = 9 + 12 = 21 [B].

I

Задача 3. Определить значение R2. Напряжение U2 = 25 В.

U1

U1 = E - U2 = 45 -25 = 20 [B];

R1 =4 Ом

I = U1 / R1 = 20 / 4 = 5 [A];

E=45 B R2

U2=25 B

R2 = U2 / I = 25 / 5 = 5 [Ом];

Задача 4. Определить значения токов во всех ветвях и напряжений на

сопротивлениях.

Указываем

положительные на-

R1=1 Ом

правления токов в ветвях и напряже-

ний на сопротивлениях.

E

R2=2 Ом

R3=3 Ом

R1=1 Ом

a

22 В

I1 U1

I2

Uab

E

R2=2 Ом

R3

22 В

3 Ом

R2 × R3 = 1 +

2 × 3 = 2,2[Ом ];

b

I3

RЭ = R1 +

R2 + R3

2 + 3

I1 = E / RЭ = 22 / 2,2 = 10 [A],

U1 = I1×R1 = 10×1 = 10[B].

6

Последовательность расчета I2 и I3 покажем подробно.

a

Для этого рассмотрим отдельно

I1=10 A

I2

R3

фрагмент цепи.

2 × 3

[

R2=2 Ом

Uab

U

ab

= I

1

× R

ab

= 10 ×

= 12

B ;

3 Ом

2

+ 3

]

b

I3

Располагая Uab, определяем токи в

средней и правой ветвях.

I2 =Uab / R2 =12 /2 = 6[A]; I 3 =Uab / R3 = 12 / 3 =4A],

a

Задача 5. Определить значение Е источни-

R

R

R

ка, при условии, что R=1 Ом и напряжение

R

Uab =12 B.

E=?

Объединяем сопротивления в ветвях и ука-

R

R

зываем их значения. Выбираем положительные

направления токов и напряжений.

b

a

I1

I3

I2

U1

R=1 Ом

Uab=12B

Uab

2R

3R

2 Ом

E

3 Ом

Напряжение между узлами задано, что

b

дает возможность определить

токи в правой и левой ветвях.

Задача 5А. Покажем иную возможность решения задачи 5.

a

Схему рисуем иначе, поменяв мес-

R1=1 Ом

тами левую и среднюю ветви. Объединя-

Uab

ем сопротивления в этих ветвях.

E

R2

R3

Параметры прежние: R = 1 Ом, Uab=12 B.

2 Ом

3 Ом

Полагая значение Е заданным, запи-

b

сываем уравнение для напряжения Uab.

E

R2 × R3 =

E × R2 × R3

U

ab

=

×

R

.

R1

+

R2

× R3

R + R

R × R + R × R + R ×

R2

+ R3

2

3

1

2

1

3

2

3