Ряды. Методичка
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
Ряды
Методические указания по решению задач
Санкт-Петербург
2008
Блинова И.В., Виноградова Т.Н., Кубенский А.А., Панкратова Т.Ф., Петрашень А.Г., Попов И.Ю. Ряды / Методические указания по решению задач. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. 50 с.
Пособие предполагается использовать для самостоятельной работы студентов по теме «Ряды». Предназначено студентам всех специальностей и преподавателям.
Рекомендовано к печати Советом естественнонаучного факультета
23.12.2008 (протокол N 5)
В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.
©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2008
©Блинова И.В., Виноградова Т.Н., Кубенский А.А., Панкратова Т.Ф., Петрашень А.Г., Попов И.Ю., 2008
2
1. Вычисление суммы ряда по определению
∞
В примерах этого раздела для каждого ряда ∑un требуется вычислить
n=1
n
n -ю частичную сумму Sn =∑uk , установить, имеет ли последовательность
k=1
{Sn}∞n=1 предел, и вычислить этот предел, если он существует.
|
Пример: |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. При любом k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= 1 |
1 |
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑n=1 n(n +2) |
|
|
k(k + |
2) |
|
k |
+2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1− |
|
+ |
|
− |
|
|
|
+...+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
∑k=1 k(k +2) |
2 |
3 |
2 |
4 |
n |
n |
+ |
2 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n +2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сумма ряда S = lim S |
n |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Упражнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. 1+2 +...+n +...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∑( |
|
|
|
n − |
|
|
|
n +1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ∑(−1)n+1 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n∞=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 n(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n(n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
9. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n −2)(3n +1) |
|
|
|
|
|
|
2 |
(n |
+1) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 (2n −1)(2n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
n2 + 3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. ∑(−1) |
|
|
|
(0,3) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
12. 1−2∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
(n +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
5 |
n |
+ 2 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. ∑(−1,1)n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. ∑ |
3 +7 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. ∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
2 3n +3 2n−1 |
|
|
|
|
|
∞ |
3n+1 −4 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
5n+1 −2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
17. ∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2n−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
4n−1 +32n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
7n−2 +32n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n−1 n −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
21. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
3 5n+1 −22n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
22. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
23. |
∑ |
(−1)n−1 + |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24. ∑( n + 2 −2 |
|
|
n +1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1
3
2. Необходимый признак сходимости ряда
В примерах этого раздела требуется проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда, т.е. равен ли нулю предел общего члена ряда при стремлении его номера к бесконечности.
∞ |
n |
3 |
−1 |
|
|
n |
3 |
−1 |
|
1 |
|
Примеры: 1. ∑ |
|
; |
lim |
|
= |
. |
|||||
|
3 |
+5 |
|
3 |
+5 |
2 |
|||||
n=1 |
2n |
|
n→∞ |
2n |
|
|
Ответ. Необходимый признак сходимости не выполняется.
∞ |
2n |
|
|
2n |
|
2 |
|
|
2. ∑ |
; |
lim |
= lim |
= 0. |
||||
n |
n |
n |
||||||
n=1 |
3 |
|
n→∞ |
3 |
n→∞ |
3 ln 3 |
|
Ответ. Необходимый признак сходимости выполнен.
Упражнения:
∞ |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4n +3 |
|
|
|
|
||||||||
25. ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
26. |
∑ |
; |
|
|
|
|||||||||||
3n − |
1 |
|
|
|
|
17n +7 |
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2n +1 |
|
||||||
28. ∑cos |
; |
|
|
|
|
|
|
29. |
∑tg |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(n + 2) |
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||||
∞ |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
31. ∑ |
n |
|
|
; |
|
|
|
|
32. |
∑ |
+6 |
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
n=0 3n |
|
|
9 |
|
|
|
|
n=0 |
4n +5 |
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
4 n |
|
|
|
|
||||||
34. ∑ln |
|
1 |
+ |
|
15n |
|
|
|
; |
35. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
n +1 + |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
(n2 + |
3) |
5 |
|
|
n=1 |
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
27. |
∑sin |
; |
|
|
|
|||
n |
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
n +3 |
|
|
|
|||
30. |
∑ |
; |
|
|||||
2 |
||||||||
|
n=0 |
(n +7) |
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
33. |
∑n e ; |
|
|
|
|
|||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
||
36. |
∑ |
2 + n |
|
; |
||||
n |
3 |
|||||||
|
n=1 |
3 2 |
+ n |
|
|
∞ |
n |
∞ |
n |
n |
|
∞ |
1 |
|
∞ |
π |
|
|
37. ∑ |
2 |
; |
38. ∑ |
|
; |
39. ∑n arctg |
; |
40. ∑n sin |
. |
|||
100 |
n! |
n |
n |
|||||||||
n=1 |
n |
n=1 |
|
n=1 |
|
n=1 |
2 |
|
3. Достаточные признаки сходимости рядов
В примерах этого раздела надо установить, сходится ли данный ряд, используя достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
а) Признаки сравнения рядов. Для установления сходимости данного ряда надо подобрать сходящийся ряд с бo'льшими членами, а для установления расходимости – подобрать расходящийся ряд с ме'ньшими членами. Чаще всего сравнивают члены данного ряда с членами какойнибудь геометрической прогрессии или с членами гармонического или обобщённого гармонического ряда. Можно использовать также признак сравнения рядов в предельной форме.
4
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Примеры: 1. ∑ |
|
|
; un = |
|
≤ |
= |
|
|
|
. Ряд |
||||||
|
3n 4 |
2n+1 |
3n 4 |
2n+1 |
2n+1 |
12 |
(16) |
n |
|||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
сходится, |
т.к. |
его члены образуют бесконечно |
убывающую |
||||||||||||
12 (16) |
n |
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометрическую прогрессию, а значит, сходится и данный ряд.
∞ |
|
n +3 |
|
n +3 |
|
n + 2 |
|
1 |
|
||
2. ∑ |
|
; un = |
≥ |
= |
. |
||||||
n +1(n + 2) |
n +1(n + 2) |
n +1(n + 2) |
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
n +1 |
|||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд ∑ |
|
|
расходится |
как обобщённый гармонический ряд с |
|||||||
|
|
|
|||||||||
n=1 |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
показателем степени меньшим единицы, а следовательно, расходится и данный ряд.
б) Признак Даламбера часто удобно применять в предельной форме.
∞ 3n |
|
u |
n+1 |
|
|
|
|
3(n +1) 5n+1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
Пример: ∑ |
|
|
|
; lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|||||
|
n+1 |
|
|
|
5 |
n+2 |
3n |
5 |
|||||||||||||
n=1 5 |
|
|
n→∞ |
un |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Данный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) Интегральный признак Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
+∞ |
||||||
|
|
|
|
|
|
∫1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример: ∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
= ln ln(x +1) |
|
1 = +∞. |
||||
(n +1)ln(n +1) |
(x +1)ln(x +1) |
||||||||||||||||||||
|
|
Интеграл, а следовательно, и ряд расходится.
Упражнения:
а) Признаки сравнения рядов.
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
41. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
42. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n + |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
n(1+ n2 ) |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
44. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
45. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
4 |
n + |
|
|
|
|
|
(2n +1)2 |
2n+1 |
||||||||||||||||
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
47. |
∑2n sin |
; |
|
48. |
∑22n tg5-n ; |
|||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
50. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
51. |
∑ |
|
sin |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 ln(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
n |
||||||||||
53. |
∑ ( |
|
|
10 |
6 ; |
54. |
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2n +5) |
∑1 + n3 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
1+ n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(n |
+100) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. |
∑ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||
46. |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
||||||
n(n + 2) |
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
ln(7n +1) −nln 7 |
|
||||||||||
49. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
tg6 |
−n |
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
52. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
n |
2 |
−4n +5 |
|
||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
16 |
+5 |
|
|
|
|
|||
55. |
∑ |
|
|
n |
|
; |
|
|
|||||
(n |
3 |
|
3 |
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
+50) |
|
|
|
|
5
∞ |
5n |
2 + |
|
|
∞ |
4 3 |
|
∞ |
n |
2 + |
n |
||||||
56. ∑tg |
|
|
2 |
; |
57. ∑= |
|
|
+ |
|
|
; |
58. ∑ |
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
3n |
n3 |
|
|||||||||||
2 |
+ |
|
2 |
n |
3 + |
n |
|||||||||||
n=1 |
(n |
|
2) |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
3 |
|
б) Признак Даламбера.
|
∞ |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
59. |
∑ |
; |
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
61. |
∑sin |
n |
; |
|
||||||||
|
n |
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
|
∞ |
(n +1)! |
|
|||||||||
64. |
∑ |
; |
||||||||||
n |
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
100 |
|
|
|
|
|
|||||
67. |
∑ |
n |
|
; |
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
n2 |
−1 |
|||||||
70. |
∑ |
3 |
|
|
|
|
|
; |
||||
2n |
2 |
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
3 |
n |
|||||||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
||||
73. |
∑ |
|
|
|
; |
|
||||||
2 |
n |
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
∞ |
na |
n |
|
|
|
60. ∑ |
|
|
|
(a > 0, b > 0, a ≠ b); |
|
|
3 |
b |
n |
||
n=1 |
(n +1) |
|
|
|
∞ |
|
n(n −1) |
|
|
||||||
62. |
∑tg |
; |
|
||||||||
|
|
|
7 |
n |
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65. |
∑ |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(3n +1) 3 |
n+1 |
||||||||
68. |
∑ |
|
; |
||||||||
2 |
|
||||||||||
|
n=2 |
|
|
n |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
∞ |
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
71. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|||
(3n)! |
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
63. ∑∞ 2n ;
n=1 n!
∑∞ n3
66. n=1 (n +1)! ;
69. ∑∞ nn ;
n=1 n!
∑∞ (n!)2
72. n=1 2n2 ;
∞ |
(n +1)! |
|
|
∞ |
n! |
|
74. ∑ |
|
; (2n)!! = 2 4 ... (2n); |
75. ∑ |
. |
||
(2n)!! |
|
|||||
n=1 |
|
n=1 |
(2n −1)!! |
в) Интегральный признак Коши.
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
||
76. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
77. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
78. |
∑ |
|
|
; |
|
||||||||
1 |
+ n |
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3n |
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
+ |
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
79. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
80. |
∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
81. |
∑ln2n ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
n |
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n=2 nln |
|
|
|
|
|
n=2 nln |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
82. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
83. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
84. |
∑ |
|
|
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=0 |
|
|
1+ |
3n |
|
|
|
n=0 3 |
(n + 2)2 |
|
|
|
n=1 |
4 3n −2 |
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
85. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
86. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
87. ∑ne−n2 ; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(2 −n)4 |
|
|
(2n +1)5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=3 3 |
|
|
|
n=1 3 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
e |
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|||||
88. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
89. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
90. |
∑ |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n +1) |
3 |
|
|
|
|
(2n +1)(2n +3) |
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
n=0 |
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
91. |
∑= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
; |
|
|
92. |
|
|
|
, a > 0 , b ≠ a . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(an +b)3 |
|
|||||||||||||||||||
(n +1)ln |
2 (n +1) |
n |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
4. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость ряда
В примерах этого раздела надо установить, сходится ли данный ряд абсолютно, неабсолютно (условно) или расходится.
∞ |
n |
∞ |
|
(−1) |
n |
|
∞ |
|
|
Примеры: 1. ∑ |
(−1) |
. Ряд из модулей ∑ |
|
|
|
= ∑ |
1 |
сходится. |
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
||||
n=1 |
n |
n=1 |
|
n |
|
|
n=1 |
n |
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
∞ |
(−1) |
n |
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
∞ |
1 |
|
|
|
||
2. ∑ |
|
|
|
. Ряд из модулей ∑ |
|
|
|
|
= ∑ |
|
расходится, |
|||||
|
3 3n + |
2 |
|
3 3n + 2 |
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
n=1 |
3 3n + 2 |
|
|||||||||
но члены |
его |
|
монотонно |
убывают |
с ростом |
n |
и lim |
1 |
= 0 . |
|||||||
|
3 3n + 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится неабсолютно (условно).
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. ∑(−1)n |
|
|
|
. Общий член ряда un |
= (−1)n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim | u |
n |
| = lim |
|
n + 2 |
|
= |
1 |
lim u |
n |
≠ 0, |
т.е. не выполнен необходимый |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
2n +5 2 |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
признак сходимости ряда. Ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Упражнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
93. ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94. ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
95. ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
(3n) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
(−1) |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
(n |
2 |
+1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
96. ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97. ∑ |
|
(−1) |
|
; |
|
|
|
|
|
98. ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n=1 |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
2n |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
99. ∑(−1) |
|
|
|
|
1 + |
|
|
; |
|
100. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
, a > 0 ,b > 0 ; |
101. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
an +b |
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
102. ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103. ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
104. ∑(−1) |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
π |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
105. ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
106. ∑(−1) |
|
nsin |
|
|
; |
|
107. ∑(−1) |
|
|
1−cos |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
sin nα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
a sin nα+bcos nα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
108. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, α − const; |
|
109. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, a,b,α − const. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3n |
2 |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
5. Исследование сходимости ряда
В примерах этого раздела, используя необходимый или какой-либо из достаточных признаков сходимости, надо выяснить вопрос о сходимости ряда. Если данный ряд знакопеременный, то требуется установить тип сходимости: абсолютная или неабсолютная (условная).
Примеры:
∞ |
n |
|
1. ∑ |
(−1) |
. Так как рассматриваемый ряд не является положительным, |
3 |
||
n=1 |
n |
составляем ряд из абсолютных величин ∑∞ 1 . В силу сходимости этого
n=1 n3
ряда исходный ряд сходится абсолютно.
|
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. ∑ |
|
|
|
. |
Общий |
член |
ряда составленного |
из |
модулей |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n=1 |
4 2n3 +5n +1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
a = |
|
1 |
|
|
при |
больших |
n |
эквивалентен a |
|
. |
Отсюда |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
4 2n3 +5n +1 |
|
|
|
n |
n3/ 4 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
видно, что lim a |
= lim |
|
= 0 и члены ряда монотонно убывают. Откуда |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
n |
n→∞ a3/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
согласно признаку Лейбница следует неабсолютная сходимость исходного ряда.
∞ |
(−1) |
n |
(2n −1 |
|
|
|
|
|
(2n −1 |
|
2 |
|
3. ∑ |
|
. Так как lim |
|
an |
|
= lim |
= |
≠ 0 |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
||||||||
n=1 |
3 8n3 +1 |
n→∞ |
|
|
|
n→∞ 3 27n3 +1 |
|
|
необходимый признак сходимости ряда не выполнен и ряд расходится.
Упражнения:
|
∞ |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3n + 2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
110. |
∑ |
; |
|
|
|
|
|
111. |
∑ |
|
; |
112. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n3 + n2 +3 |
(2n +1)(2n −1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
3n + 4 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
||||
113. |
∑(−1)n |
|
|
|
; |
114. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
115. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + n100 |
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
2n −7 |
|
|
|
n=1 n(3n + 4) |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
116. |
∑ |
|
|
; |
117. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
118. |
∑ |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
3n2 −5n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
5−n +1000 |
|
|
|
n=1 |
1000n + |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
(n +3) |
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
∞ |
|
2 +(−1) |
n |
|
|
|
||||||||||||
119. |
∑ |
|
|
; |
120. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
121. |
∑ |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
1020 n + 2 |
|
|
(n +1)(5n −4) |
|
2n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
3n +5n |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n (n100 +1) |
|
|
|
∞ |
(5n +1)3n−1 |
|
||||||||||||||||||
122. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
123. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
124. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+3 |
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
8
|
∞ |
|
|
|
4n |
|
+5 |
|
|
|
|
||||||||||||
125. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||
2 |
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
(n |
|
|
|
|
+1) |
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
128. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
(n |
2 |
|
|
|
|
6) |
2 |
||||||||||||||||
|
n=1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 n |
2 |
n +3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
134. |
∑ |
n |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
137. |
∑ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
140 |
∞ cos πn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||
143. |
∑sin |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
146. |
∑ |
sin |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149. |
∑tg |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
2 |
(n |
3 |
+1) |
|
|
||||||||||||||||
152. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
(n +1)(n + 2) |
|
|||||||||||||||||||
155 ∑ |
2 |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||||||||
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
n! |
|
|
|||||||||||||||||
158. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||
(2n +1)5n |
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n1000 |
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n−1) |
||||||||||||
161. |
∑(−1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
n ; |
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n2 (2n +1) |
|
|
|||||||||||
126. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n (3n + 4) |
|
||||||||||||
129. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
2 |
n−10 |
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
(n |
2 |
+3) |
3/ 2 |
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135. |
∑n 0.0001 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
138. |
∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
n +100 |
|
|
|
|
|||||||||
141. |
∞ cos π3n ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
144. |
∑sin n2 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|||
147. |
∑n−3 sin |
; |
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|
||||
127. |
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
( |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
) |
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
130. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
n(n +3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
133. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3n2 +7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
136. |
∑(−1)n 1 |
−cos |
|
|
|
; |
||||||||||||
n |
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
139. |
∑(−1)n−1 sin π |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
142. |
∑ n sin |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 n5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
145. |
|
|
|
πn |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑sinn2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
148. |
∑sin |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin na |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
150. |
∑ |
|
; |
|
|
|
|
151. ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(ln 5)n |
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
n |
3 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
153. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
154. ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2n (n + 4) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
n!(4n |
2 |
+6) |
|
|||||||||
156. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
157. ∑ |
|
|
; |
||||||||||||||
(2n +1)! |
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
n! |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n −3 |
|
||||||||||
159. |
∑ |
|
; |
|
160. ∑(−1)n |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n + 4) n |
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3 5....(2n −1) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
162. |
∑(−1)n−1 |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 4 6...(2n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
||||||||||
163. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
164. ∑ |
(sin x) |
|
, |
x |
||||||||||
|
|
|
|
+(−1)n ) p |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 (n |
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−m +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
165. |
∑ |
n(n −1)(n −2)....(n |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ 4 |
|
|
|
4 7 |
|
|
4 7 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
167. |
∑ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
... |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 6 |
|
2 6 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
168. |
∑( |
2 − 3 2)( 2 − 5 2)( |
2 − 7 2)...( |
2 − |
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 ∞ |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|||||||
169. |
∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
170. |
nn+n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
n |
|
∑ |
|
n |
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
2 + |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n + |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
172. |
∑ |
n!e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, 2π) ;
∑∞ ann!
166. n=1 nn ;
2n+1 2) ;
|
∞ |
n −1 |
n(n+1) |
||
171. |
∑ |
|
|
|
|
|
|||||
; |
n=2 |
n +1 |
|
||
|
; |
|
|
|
|
6. Ряды с комплексными членами
В примерах этого раздела следует исследовать нижеприведенные ряды на сходимость. В силу того, что для комплексных чисел не определено отношение порядка (понятие больше - меньше), при исследовании рядов следует выделить вещественную и мнимую части его общего члена, после чего исследовать на сходимость их по отдельности. Если же производится исследование на абсолютную сходимость, то в этом случае можно непосредственно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин.
∞ |
|
1 −i n |
|
Примеры: 1. ∑ |
|
. |
|
|
|||
n=1 |
|
3 + 2i |
Настоящий ряд представляет геометрическую прогрессию со
знаменателем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q = |
1−i |
= |
(1 −i )( 3 −2i ) |
= |
1−5i |
. |
|||||||
3 + 2i |
|
3 + 2i |
|
2 |
13 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так |
как |
|
|
q |
|
= 2 / 13 <1, |
то |
ряд, составленный из модулей членов |
|||||
|
|
исходного ряда, является бесконечно убывающей геометрической прогрессий. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
10