Бонусные задачи для гр. 3742
.pdfБонусные задачи.
1.В урне имеется n белых шаров и 1 черный. Шары извлекаются по одному до появления черного шара a) c возвращением, b) без возвращения. Пусть X – число извлеченных шаров. Найти EX, DX.
2.Три игрока A, B и C играют на следующих условиях: в каждой партии участвуют двое; проигравший уступает место третьему; первую партию играют A c B. Вероятность выигрыша в партии для каждого игрока равна 0,5. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет 2 раза подряд; при этом он получает сумму выигрыша, равную числу всех сыгранных партий. Каково математическое ожидание выигрыша для игроков A , B и С до начала игры?
3.Рабочий обслуживает n однотипных станков, расположенных в ряд на расстоянии a. Закончив обслуживание одного станка, рабочий переходит к тому станку, который раньше других потребовал обслуживания. Предполагая, что появление неполадки в любом из n станков равновероятна, вычислить среднюю длину одного перехода рабочего.
4.Число проведенных опытов X случайно и имеет распределение Пуассона. Каждый опыт может быть успешным с вероятностью p и неуспешным с вероятностью q=1- p. Построить ряд распределения успешных опытов.
5. |
Пусть независимые случайные величины имеют распределения |
, то |
|
|
есть распределения Пуассона с параметрами |
. Найти распределение суммы |
|
6. |
В условиях предыдущей задачи при |
доказать, что при любом целом k |
|
7.Игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не появится менее пяти очков. Пусть X – число очков, выпавших при последнем бросании, а Y – количество бросаний кости. Найти совместное распределение X и Y. Являются ли эти случайные величины зависимыми?
8.Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое дискретное распределение. Найти
9.Пусть случайная величина X имеет бета-распределение, то есть ее плотность вероятностей имеет вид
Определить
параметр A, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
10.Вероятность приема позывного сигнала 0.2 при каждой посылке. Позывные передаются каждые 5 сек. до тех пор, пока не будет получен ответный сигнал, принимаемый достоверно. Общее время прохождения позывного и ответного сигналов равно 16 сек. Найти среднее число подаваемых позывных сигналов до установления двусторонней связи.
11. Случайная величина X распределена по закону Рэлея с плотностью вероятностей
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
12. Найти A, E(X), D(X), если случайная величина X имеет χ-распределение, то есть
|
|
0, |
|
|
x 0, |
|
распределение с плотностью |
f X |
|
|
|
|
k 0. Ответ дать в |
(x) |
Axk 1 e |
x2 |
|
|||
|
|
|
|
2 , |
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
терминах Г(t), где Г(t) – Г-функция : (t) xt 1 |
e x dx . |
|
||||
0
13.Пусть случайная величина X имеет распределение Лапласа: fX (x) (2u) 1 exp x a 
u . Найти E(X),D(X).
14.Пусть случайная величина X имеет Г(гамма)-распределение, то есть
|
|
|
0, |
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, где (q) xq 1 e x dx . Найти E(X), D(X). |
|
15. |
fX |
( x) |
1 |
q xq 1 e x , |
x 0, |
q 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(q) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|