теория вероятности до 30.08.2010

Контрольная работа

Задача № 1. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3?

Решение:

Число 19 может состоять: 1) из 1 тройки и 8 двоек, 2) из 3 троек и 5 двоек, 3) из 5 троек и 2 двоек.

Например: 1) 2+3+2+2+2+2+2+2 или 2+2+2+2+3+2+2+2 и т.д.

Эти выборки имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями.

2) из 3 троек и 5 двоек;

3) из 5 троек и 2 двоек;

Тогда разложений числа 19, которое состоит лишь из чисел 2 и 3 будет .

Ответ: 534.

Задача № 2. Среди 64 клеток шахматной доски выбирают наудачу две различные клетки и ставят на них две одинаковые фигуры черного и белого цвета. Какова вероятность, что эти фигуры не будут бить друг друга, если были поставлены две ладьи? Два слона? Два коня? Два ферзя?

Решение:

1) Ладья может бить противника только прямо, двигаясь вправо или влево, назад и вперед, тогда для каждой из ладьи число исходов – возможность бить противника – равно 14. Белая ладья бьёт чёрную на 8 клетках горизонтально и на 8 клетках вертикально. Но одну клетку она сама занимает, следовательно, она держит под боем 14 клеток.

То есть благоприятствующих событий (фигуры не будут бить друг друга) будет . Число n всех возможных исходов равно 63.

Тогда по формуле классической вероятности, получим .

2) Слон может бить противника только по диагонали, тогда возможность бить противника возникает, когда оба слона попадают на одну диагональ, всего n = 26 диагоналей. Число благоприятных исходов – фигуры не будут бить друг друга – равно .

Тогда по формуле классической вероятности, получим .

3) Так как ферзь может бить как ладья и слон.

Вероятность, что два ферзя не смогут срубить друг друга, равна произведению вероятностей

.

4) Вероятность того, что два коня не будут бить друг друга, вычислим по формуле геометрической вероятности. Так как конь может рубить только буквой «Г», то площадь прямоугольника, когда конь может срубить, равна 6, а площадь всей доски 64, то есть искомая вероятность будет равна

.

Ответ: 0,7778; 0,923; 0,7179; 0,906.

Задача № 3. Вероятность того, что выбранный наугад мужчина имеет проблемы с системой кровообращения равна 0,25. Мужчина, имеющий такие проблемы, является курильщиком с вероятностью в два раза больше, чем мужчина, у которого нет никаких проблем с системой кровообращения. Чему равна вероятность того, что мужчина, который курит, имеет проблемы с системой кровообращения?

Решение:

Обозначим: событие А – выбранный наугад мужчина имеет проблемы с системой кровообращения; событие Н₁ – Мужчина, имеющий такие проблемы, является курильщиком; событие Н₂ – мужчина, у которого нет никаких проблем с системой кровообращения.

Вероятности в данных условиях Р(Н₁) = 2р, Р(Н₂) = р. Вероятность того, что выбранный наугад мужчина имеет проблемы с системой кровообращения, находим по формуле полной вероятности:

Вероятность того, что мужчина, который курит, имеет проблемы с системой кровообращения, равна .

Ответ: .

Задача № 4. Какова вероятность получения 70 % или более правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности или ложности 10 утверждений?

Решение:

Обозначим событие А – утверждение окажется истинным; Ā – утверждение окажется ложным.

Вероятности того, что утверждение окажется истинным или ложным равны, то есть вероятность того, что утверждение окажется истинным р = Р(А) = 0,5; вероятность того, что утверждение окажется ложным q = Р(Ā) = 0,5.

Всего n = 10 утверждений. 70% ответов составят 7 утверждений, то есть надо найти вероятность получения 7 и более правильных ответов (к ≥ 7).

Так как число повторных испытаний n = 10 (n < 10), применим формулу Бернулли.

а) получения k = 7

б) более чем k = 7 (k > 7),

то есть Р₁₀(8;9;10) = Р₁₀(8 или 9 или 10) = Р₁₀(8) + Р₁₀(9) + Р₁₀(10).

Найдем

0,043945313

0,009765625

Р₁₀(8;9;10) = 0,043945313 + 0,009765625 + = 0,0546875

в) Какова вероятность получения 70% и более правильных ответов при простом отгадывании на экзамене равна:

Р = Р₁₀(7) + Р₁₀(8;9;10) = 0,0546875 = 0,171875.

Ответ: 0,171875.

Задача № 5. При проведении телепатического опыта индуктор, независимо от предшествующих опытов, выбирает с вероятностью 0,5 один из двух предметов и думает о нем, а реципиент (приемщик) угадывает, о каком предмете думает индуктор. Опыт был повторен 100 раз, при этом было получено 60 правильных ответов. Какова вероятность совпадения при одном опыте, в предположении, что телепатической связи между индуктором и реципиентом нет? Можно ли приписать полученный результат чисто случайному совпадению или нет?

Решение:

Если вероятность  наступления события А в каждом из  независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от  вероятности  его появления. По центральной предельной теореме, получаем

Используя нормальное приближение, получаем

,

.

и из таблиц получаем неравенство откуда, следует, что

Своего наибольшего значения функция принимает при , то есть . Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Вывод: следовательно, приписать полученный результат к чисто случайному совпадению нельзя, он становится закономерным.

 

Литература

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Высшая школа, 2000.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.

5. Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Инфра М, 1997.

6. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987.

6