Эконометрика, ТюмГСХА, в-64

10

Задача 1.

По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 1).

Таблица 1

Себестоимость молока, руб./л	7,8	7,0	5,9	8,0	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9
Средняя продуктивность молока, кг	139	174	201	221	135	222	185	156	123	247

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при  = 0,05.

6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при  = 0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

Решение.

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

,

где - себестоимость молока, руб./л;

x – средняя продуктивность молока, кг;

a, b - параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных a и b, и затем каждое уравнение просуммируем:

,

где n – число единиц совокупности.

Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2).

Таблица 2

№ п/п	Себесто-имость молока, руб./л	Средняя продук-тивность молока, кг						А
	y	x
1	7,8	139	60,84	19321	1084,2	6,93	0,87	11,2
2	7,0	174	49,00	30276	1218,0	6,79	0,21	3,0
3	5,9	201	34,81	40401	1185,9	6,69	-0,79	13,4
4	8,0	221	64,00	48841	1768,0	6,61	1,39	17,4
5	7,5	135	56,25	18225	1012,5	6,95	0,55	7,3
6	6,0	222	36,00	49284	1332,0	6,60	-0,60	10,0
7	5,2	185	27,04	34225	962,0	6,75	-1,55	29,8
8	8,3	156	68,89	24336	1294,8	6,87	1,43	17,2
9	5,8	123	33,64	15129	713,4	7,00	-1,20	20,7
10	6,9	247	47,61	61009	1704,3	6,50	0,40	5,8
Сумма	68,4	1803	478,08	341047	12275,1			135,8

Подставим полученные данные в систему уравнений:

Параметры уравнения регрессии найдем по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Коэффициент регрессии b = −0,004 показывает, что при росте средней продуктивности молока на 1 кг себестоимость молока в среднем по данной совокупности хозяйств снижается на 0,4 коп. за литр.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:

В среднем расчетные значения себестоимости молока отклоняются от фактических на 13,58%. Качество уравнения регрессии можно оценить как среднее, так как средняя ошибка аппроксимации больше 10%.

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

.

.

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте средней продуктивности молока на 1% себестоимость молока снижается на 0,11%.

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

,

где - средняя сумма произведения признаков.

Найдем средние квадратические отклонения:

Коэффициент корреляции, равный (−0,142), свидетельствует, что связь между признаками слабая и обратная. Коэффициент детерминации показывает, что всего 2% изменений в уровне себестоимости объясняется различной продуктивностью молока.

5. Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное t_факт сравним с табличным (критическим) значением t_табл при принятом уровне значимости  = 0,05 и числе степеней свободы  = n – 2 = 10 – 2 = 8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Так как < , то это свидетельствует о незначимости линейного коэффициента корреляции и несущественности связи между себестоимостью и продуктивностью молока.

6. Оценим значимость уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F_факт с табличным F_табл.

.

Фактическое значение критерия меньше табличного, что свидетельствует о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически ненадежны и сформировались под случайным воздействием фактора x.

7. Полученные оценки уравнения регрессии не позволяют использовать его для прогноза.

Задача 2.

По 25 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 3).

Таблица 3

Показатель	Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение ()	Линейные коэффициенты парной корреляции
Урожайность зерновых, ц/га	y	17,5	7,4
Внесено органических удобрений, ц/га	x1	22	2,7
Насыщенность севооборота зерновыми, %	x2	63	11,0

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.

2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости =0,05.

Решение.

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

,

где - урожайность зерновых с 1 га, ц;

x₁ – внесено органических удобрений на 1 га, ц;

x₂ – насыщенность севооборота, %;

a, b₁, b₂ – параметры уравнения.

Для расчета параметров уравнения сначала построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

,

где - стандартизированные переменные;

- стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные коэффициенты регрессии определим по формулам:

Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид:

.

Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность зерновых. Более значимое влияние оказывает второй фактор, а именно, насыщенность севооборота зерновыми. В целом же можно сказать, что влияние факторов на урожайность практически одинаково.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b­₂, используя формулы перехода от _i к b_i:

,

где - средние квадратические отклонения.

Параметр определим из соотношения:

Получим уравнение:

.

Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение урожайности за счет изменения соответствующих факторов и фиксированного уровня другого. Так, коэффициент при x₁ показывает, что увеличение (или снижение) количества внесения удобрений на 1 ц ведет к повышению (или снижению) урожайности зерновых на 0,932 ц. Соответственно, коэффициент при x₂ определяет меру зависимости урожайности зерновых от насыщенности севооборота.

2. Для определения линейного коэффициента множественной корреляции используем формулу:

.

Коэффициент множественной корреляции показывает тесную зависимость между анализируемыми признаками. Коэффициент множественной детерминации свидетельствует, что 27,5% изменения урожайности зерновых связано с анализируемыми признаками.

3. Статистическую значимость уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи оценим с помощью общего F-критерия Фишера по формуле:

,

где n = 25 – число единиц совокупности; m = 2 – число факторов в уравнении линейной регрессии.

Табличное значение по таблице значений F-критерия Фишера при , и равно .

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x₁ и x₂.