Силы упругости и закон гука при всестороннем сжатии.

Как уже было показано, продольное (одностороннее) растя­жение тела сопровождается его поперечным сжатием и, наобо­рот, продольное сжатие — поперечным утолщением. А это приводит к изменению объема тела. Найдем изменение объема куба с ребром, равным единице (1 м, 1 см). При растяжении куб пре­вращается в параллелепипед длиной. Поперечный размер куба уменьшится на величину, так что новое сечение станет равным (1 —)². Относительное изменение объема куба будет равно

Раскрывая скобки и пренебрегая квадратными членами, полу­чим:

Для всех тел 2< 1. Поэтому при одностороннем растяжении (> 0) объем тела увеличивается на величину, а при одностороннем сжатии (<0) объем тела уменьшается на та­кую же величину. Можно показать, что при всестороннем одно­родном сжатии (типа гидростатического) относительное изме­нение объема в три раза больше, чем при одностороннем сжа­тии:

(14)

Так как относительное удлинение согласно закону Гука опреде­ляется формулой

где р — нормальное усилие (давление на грани куба), то соот­ношение (14) запишется так:

или

(15)

Относительное изменение объема тела при всестороннем од­нородном сжатии прямо пропорционально внешнему давлению.

Таким образом, всестороннее сжатие также подчиняется закону Гука.

Величину = 3(1 — 2)называюткоэффициентом сжимае­мости. Из (15) находим:

. (16)

Отсюда видно, что коэффициент сжимаемости численно равен относительному изменению объема тела при всестороннем дей­ствии на него давления, равного единице. Для тел, у которых , близко к 1/2, коэффициент сжимаемости очень мал; такие тела почти не сжимаются. Жидкости относятся именно к таким те­лам.

Силы упругости и закон гуна при деформации кручения.

Рассмотренный выше сдвиг прямоугольного бруска (парал­лелепипеда) представляет собой однородную деформацию, т. е. относительный сдвиг для всех параллельных слоев одинаков. Кручение — деформация неоднородного сдвига. Такая деформа­ция возникает в стержне, если закрепить один конец и закручи­вать другой (рис.3). При этом различные сечения стержня будут поворачиваться на различные углы относительно закре­пленного основания стержня. Так, сечение в плоскостиа повер­нется на угол , сечение в плоскостиb — на угол и т. д. При кручении объем тела не изменяется, так как ни сечение, ни длина стержня не изменяются.

Рис.3

Пусть верхнее сечение повернулось на угол (рис.3). Тогда каждая из образующих цилиндрической поверхности (на­пример, образующаяОА) повернется на угол, называемыйуг­лом сдвига или углом кручения. При малых сдвигах, как видно из рисунка, относительный сдвиг равен:

Если мысленно выделить в стержне цилиндрическую поверх­ность меньшего радиуса (r<R), то найдем, что ее элементы испытывают сдвиг (в фиксированной плоскости а)

меньший, чем элементы на поверхности самого стержня. Таким образом, при кручении элементы стержня испытывают тем боль­шие сдвиги, чем дальше от оси они находятся. Деформация та­кого вида называется неоднородной.

На опыте можно установить, что угол закручивания верх­него сечения (в плоскостиа) пропорционален силе F, приложен­ной по касательной к поверхности стержня в плоскости его сечения а, и радиусу стержня:

Произведение FR = М называют моментом силы. Учитывая это и вводя коэффициент пропорциональности, запишем:

(17)

Значит, угол закручивания верхнего (свободного) сечения стержня прямо пропорционален моменту закручивающей силы, действующему в этом сечении. Величину d называют коэффициентом упругости при деформации кручения. При закручивании возникают внутри стержня уп­ругие силы, которые создают упругий момент М_упр, уравно­вешивающий закручивающий внешний момент М_упр = - М. Из (17) имеем:

(18)

где—коэффициент уп­ругого (или возвращающего) момента . Для стержня задан­ных размеров он постоянный и может быть определен из опыта. Для этого нужно изме­рить угол закручивания стерж­ня при действии известного момента М и из (17) вычислить . Коэффициент D имеет наименование и размер­ность. Выражения (17) и (18) представляют собой запись закона Гука для деформации сдвига.

Поскольку кручение приводится к деформации сдвига, то ко­эффициент D можно подсчитать и теоретически, выразив его че­рез модуль сдвига и абсолютные размеры стержня. Соответ­ствующий расчет приводит к формуле:

(19)

С увеличением радиуса стержня коэффициент возвращающего момента резко растет. Поэтому толстые (и короткие) стержни трудно поддаются закручиванию: уже при малых углах нужны очень большие внешние силы. Наоборот, тонкие и длинные нити под влиянием даже очень малых сил закручиваются на большой угол. Этим обстоятельством пользуются, как уже указывалось, в крутильных весах.

Лекция 16.Диаграмма напряжений. Упругое последействие. Упругий гистерезис. Потенциальная энергия упругой деформации. Плотность энергии.