2. Величины. Сравнение. Измерение

Литература: /36, с. 74-96/.

Будько Т.С. Экскурсы ў матыматыку //Пралеска, № 8, 1994.

Грошев В.Д. Календарь российского земледельца. – М., 1991.

История математики. Т. 1 /под ред. Юшкевича А.Г. – М., 1970.

Краткий энтомологический словарь русского языка.

Словарь иностранных слов.

Хренов Л.С., Голуб И.Я. Время и календарь. – М., 1989.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М., 1998.

/9/, /11/, /12/, /14/, /16/, /31/, /32/, /34/, /36/.

2.1. Этапы исторического развития способов измерения величин. Происхождение названий единиц измерения величин

1. Сравнение величин путем приложения предметов друг к другу.

2. Сравнение величин с помощью предмета-посредника (условной мерки).

3. Сравнение и измерение величин с помощью частей тела (локоть, ладонь).

4. Сравнение и измерение величин с помощью универсальных общепринятых условных мерок:

- чарка, штоф, бочка (для объемов),

- локоть, сажень, аршин (для расстояний),

- пуд, лот, фунт (для масс).

5. Введение метрической системы. Предложена в конце 18 в. учеными в Париже. Эта система мер принята не во всех странах. В СССР она использовалась с 1917 года. За основу измерения был принят метр (в пер. с греческого «измеряю»), величина которого равна приблизительно

1/40 000 000 части Гринвичского меридиана. Все остальные единицы измерения величин связаны с метром. Так 1 кг равен массе 1 дм³ дистиллированной воды, 1 л равен объему этой же воды. Все остальные единицы измерения в 10ⁿ раз больше или меньше основных (мм, дм, км, г, мг, мл и т.п.).

2.2. Понятие величины, свойства однородных величин

Величина - одно из математических понятий, которое является обобщением более конкретных понятий: длины, объема, массы и т.д. Понятие величины связано со способами сравнения определенных свойств предметов. Однородными называются такие величины, кото­рые имеют одинаковые единицы измерения.

Свойства однородных величин:

1) для двух величин одного рода справедливо только одно из вы­сказываний: х=у или х<у, или х>у;

2) Отношение «быть большим по величине» ( х>у) является отно­шением порядка. Например, отношение «быть тяжелее» на множестве всех яблок является антирефлексивным (любое из яблок не тяжелее самого себя), антисимметричным (если яблоко х тяжелее яблока у, то яблоко у не тяжелее яблока х), транзитивным (если яблоко х тяжелее яблока у и яблоко у тяжелее яблока z, то яблоко х тяжелее яблока z);

3) отношение «быть одинаковым по величине» (х=у) является от­ношением эквивалентности. Например, «быть одинаковым по массе» на множестве всех яблок рефлексивно (каждое яблоко одинаково по массе с самим собой), симметрично (если яблоко х одинаково по массе с яблоком у, то яблоко у одинаково по массе с яблоком х), транзитивно (если яблоко х одинаково по массе с яблоком у и яблоко у одинаково по массе с яблоком z, то яблоко х одинаково по массе с яблоком z);

4) однородные величины можно складывать. Сложение величин обладает следующими свойствами:

а) переместительности, т.е. х+у=у+х,

б) сочетательности, т.е. x+(y+z)=(x+y)+z,

в) монотонности, т.е. х<х+у;

5) если х<у, то существует величина z, такая, что x+z=y. Величина z=y-x называется разностью между величинами у и х;

6) всякую величину х можно делить на любое число n одинаковых частей;

7) для любых величин х и у всегда найдется такое число n, что х<nу;

8) рассмотрим две бесконечные последовательности однородных величин. Первая а₁, а₂, ..., а_n, ... - возрастающая, а вторая в₁, в₂, ..., в_n, ... - убывающая. Пусть любая величина первой последовательности меньше любой величины второй последовательности. И чем больше номер члена каждой последовательности, тем больше они приближа­ются друг к другу. При этих условиях существует единственная величина х, которая больше всех членов первой последовательности и меньше всех членов второй последовательности, т.е.a_i <в_i.

Эти свойства характеризуют любую величину, т.е. определяют общее понятие величины.