FIZIKA_MU_k_kompyuternym_LB

3.2 Вказівки з організації самостійної роботи

Вимушені коливання, які відбуваються під дією нелінійної повертаючої сили описуються диференціальним рівнянням [1, 4]:

де ω0 = k / m – власна частота осцилятора;

δ – коефіцієнт згасання δ = r / 2m ; r – коефіцієнт опору;

m – маса осцилятора;

F0 – амплітуда сили, що змушує;

Ω– частота сили, що змушує;

γ– стала величина, яка характеризує нелінійність повертаючої сили. Коли сила, що змушує, діє за лінійним законом ( Fx = −kx , γ = 0) в системі

При певній для даної системи частоті (резонансній частоті)

амплітуда коливань досягає максимального значення:

Коли повертаюча сила є нелінійною функцією зміщення, вона може бути представлена у вигляді ряду

Коли γ>0, квазіпружна сила більша ніж у лінійному випадку. Якщо це сила пружності пружини, то таку пружину називають “жорсткою”. Коли γ<0, сила

13

менша, ніж у лінійному випадку, і пружину називають “м’якою”. На рис.3.1 представлені криві залежності квазіпружної сили від зміщення х відповідно: (1)

– для лінійної залежності, (2) – для “жорсткої” пружини. (3) – для “м’якої” пружини.

В системі з нелінійною повертаючою силою такий резонанс, як у лінійному випадку, неможливий. Якщо γ>0, власна частота збільшується з ростом амплітуди. Отже, на кривій залежності амплітуди від частоти максимум буде нахилений вправо (рис.3.2.а). Якщо γ<0, максимум буде нахилений вліво (рис.3.2.б). Таким чином, одному значенню частоти відповідає декілька значень амплітуди і мож-

Рисунок 3.1 ливі ударні скачки амплітуди. Якщо графік залежності A(ω) будує-

ться, починаючи із значень ω< ωp ≈ ω0 – крива йде по шляху c-d-e-f, якщо починати із значень ω < ω0 – крива йде по шляху f-e-k-c.

Рисунок 3.2

3.3 Опис комп’ютерної програми

Для вивчення вимушених лінійних та нелінійних коливань використовується та ж сама програма, що й для вивчення вільних коливань (робота 2), але крім режиму x(t) / F(t) в даній роботі використовується режим A(ω) , який до-

зволяє отримувати залежність амплітуди коливань від частоти як у випадку лінійних (γ=0), так і нелінійних коливань (γ>0). Зовнішній вигляд інтерфейсу програми у цьому режимі зображено на рисунку 3.3. На екран

14

5. Встановити режим програми A(ω) . Отримати графіки залежності A(ω) при трьох значеннях коефіцієнта опору r =0,01; 0,05; 0,1 (покласти γ=0). Перерисувати на один графік три резонансній криві. Зробити висновок про вплив величини згасання на ширину резонансної кривої та максимальне значення амплітуди коливань (параметри k та m встановити згідно з таблицею 3.1).

Таблиця 3.1 – Вихідні данні

6.Надаючи позитивні значення γ (випадок “жорсткої пружини”), отримати резонансну залежність А(Ω) . Зарисувати (якісно) отриману криву.

7.Надаючи негативні значення γ (випадок “м’якої пружини”) спостерігати на екрані резонансну криву. Зарисувати отриману криву.

8.Зробити висновок відносно впливу нелінійності на форму резонансної залежності та величину резонансної частоти ω0 в порівнянні з лінійним випад-

ком (γ=0).

3.5 Зміст звіту

Звіт повинен містити: мету роботи, результати вимірювань, графіки та висновки за пунктами 3...7.

3.6 Контрольні запитання і завдання

1.Які коливання називаються вимушеними?

2.Запишіть рівняння, яке описує вимушені коливання. Який вигляд має його розв’язок?

3.В чому полягає явище резонансу? При яких умовах воно може виникнути? Проаналізуйте вираз для амплітуди коливань та зсуву фаз між швидкістю та силою.

4.Коли виникають нелінійні коливання?

5.Чим відрізняються резонансні криві при нелінійних коливаннях?

16

ЧАСТИНА II. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА

4 ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ ДОВЖИНИ ВІЛЬНОГО ПРОБІГУ МОЛЕКУЛИ

4.1 Мета роботи

Ознайомитись з основними положеннями молекулярно-кінетичної теорії (МКТ). Вивчити хаотичний рух молекул, визначити середню довжину вільного пробігу молекул.

4.2. Вказівки до організації самостійної роботи

Двовимірна динамічна модель ідеального газу базується на загальних положеннях МКТ:

1.Всі речовини складаються з молекул (або атомів).

2.Атоми (молекули) знаходяться в стані хаотичного руху.

3.Молекули і атоми взаємодіють між собою. Характер взаємодії врешті решт і визначає: чи буде речовина газом, рідиною або твердим тілом.

Внаслідок хаотичного (теплового) руху між молекулами безперервно відбуваються зіткнення. Рухаючись рівномірно і прямолінійно молекула проходить деякий шлях між двома послідовними зіткненнями, який називається довжиною вільного пробігу. Довжина вільного пробігу весь час змінюється. Середня відстань, яку проходить молекула між двома послідовними ударами, носить назву середньої довжини вільного пробігу молекули λ2 . Для визначення

λ2 досить розділити шлях, який проходить молекула за 1с, що чисельно дорівнює середній швидкості V, на середнє число зіткнень z2 , яких молекула зазнає

за 1с: λ2 = V / z2 .

Для визначення z2 будемо вважати молекулу диском, діаметр якого до-

рівнює d. Зобразимо шлях диска всередині ламаної смуги шириною 2d (рис.4.1). Інші молекули вважаємо нерухомими. Молекула, що рухається, зіткнеться

тільки з тими молекулами, центри яких знаходяться на відстанях рівних або меньших d. Середнє число зіткнень z2 за 1с до-

рівює числу молекул в площі ламаної смуги: z2 = n2S , де n2 – концентрація моле-

кул (в даному випадку n2 – це число моле-

кул (дисків), яке припадає на одиницю

площі). Площа ламаної смуги можна при- Рисунок 4.1 рівняти площі спрямленої смуги довженою

V та шириною 2d, отже z2 = n2 (2d)V . Тоді

17

де n – кількість молекул в одиниці об’єму газу.

Порівнюючи формули (4.1) та (4.2) можна встановити зв’язок між довжинами вільного пробігу для двота тривимірної моделі

18

рактеризуються діаметром d, а в тривимірному – n = N 3 / L3 , розміри ~ d 2 .

4.3 Опис комп’ютерної програми

Програма створює масиви даних: координати N 2 молекул xi , yi на площині XY та їх початкові складові швидкостей Vxi , Vyi . Початкові швидкості

молекул задаються однаковими за величиною та рівними ймовірній швидкості при даній температурі

im m

де m – маса молекули, T – абсолютна температура, k – стала Больцмана. Ймовірна швидкість (4.4) для двовимірного випадку відрізняється від тривимірного випадку (Додаток В). Напрям швидкості кожної молекули визначається в межах кутів 0...2π за допомогою генератора випадкових чисел. Зовнішній вигляд інтерфейсу програми зображено на рисунку 4.4.

Рисунок 4.4

Розподіл молекул на площині в початковий момент та під час руху відображається на екрані дисплею (рис.4.5). Наступні координати молекул визначаються за кінематичними формулами Ейлера

19

кулі в обертальний рух і тоді б енергія поступального руху кульок не зберігалася б. А тому приймаючи удар ідеально пружним, ми вважаємо кульки ідеально гладкими. При їх зіткненні тангенціальні сили не виникають, а значить, для тангенціальних швидкостей можна записати

В цьому випадку виконуються закони збереження імпульсу та механічної енергії, тоді записуючи ці закони

де V '1, V '2 – швидкості кульок після удару, для нормальних складових швидкостей після удару, маємо співвідношення:

V '1n = −V1n + 2 m1V1n +m2V2n , m1 + m2

V '2n = −V2n + 2 m1V1n +m2V2n m1 + m2

4.4 Інструкція користувачу

1.Встановити режим роботи програми „Середня довжина пробігу”, виберіть „Розподіл частинок – рівномірний”, ввімкніть „Перегляд”, „Показати траєкторію”.

2.Задати числові дані у відповідності з номером варіанту завдання, згідно з таблицею 4.1, де маса молекули m вибирається однаковою «Маса 1», «Маса

20