FIZIKA_MU_k_kompyuternym_LB
.pdf
5.Яким методом розв’язується рівняння для властивих значень сталої розповсюдження (хвильового числа)?
6.Що таке “дозволена зона”, “заборонена зона”?
7.Як веде себе ефективна маса електрона біля “дна”, всередині та біля “стелі” дозволеної зони?
22 ВИВЧЕННЯ ЯВИЩА ХОЛОДНОЇ ЕМІСІЇ ЕЛЕКТРОНІВ ІЗ МЕТАЛУ
22.1 Мета роботи
Вивчити явища виривання електронів із металу під дією сильних зовніш-
ніх полів.
22.2 Вказівки з організації самостійної роботи.
Виходячи з моделі руху електронів у металі (рис.22.1), відомо, що для виривання електрона із металу необхідно надати йому енергію, не меншу, ніж робота виходу А
A =U0 − EF , |
(22.1) |
де EF – максимальна енергія, яку може
мати електрон у металі при температурі близькій до абсолютного нуля, енергія Фермі. Надати електрону необхідну енергію можна шляхом опромінювання металу світлом, шляхом нагрівання. Однак виникнення струму
електронів можливе також при низьких тем-
Рисунок 22.1 пературах під впливом зовнішнього електростатичного поля. У цьому випадку потенці-
альна енергія електрона має вигляд (рис.22.2)
U (x)=U0 − k0eεx
де е – заряд електрона,
ε – напруженість електричного поля, k0 =1/ 4πε0 .
На рисунку 22.2 суцільною лінією позначено енергію електрона в зовніш-
ньому полі, пунктиром – хід потенціальної енергії електрона в полі з урахуван-
ням так званих «сил електричного зображення».
111
Рисунок 22.2
Окрім зовнішнього електричного поля, на електрон діє «сила електричного зображення». Справа в тому, що електрон, який покинув метал, створює на поверхні металу індукований заряд +е (рис.22.3).
Таким чином, повна енергія електрона має
вигляд
U =U 0 −eεx16πεе2 χε.
0
Величина U має максимум в точці ложення якої визначається з рівняння
Рисунок 22.3 |
|
e |
|
|
|
∂U |
= 0 , xm = |
|
, |
||
∂x |
16πε0 |
ε |
|||
|
|
причому максимальне значення Um менше за U0
(22.2)
xm , по-
(22.3)
U m =U0 |
− |
1 |
|
e3ε |
. |
(22.4) |
2 |
|
πε0 |
||||
|
|
|
|
|
Врахування сил електростатичного зображення показує, що при накла-
данні зовнішнього поля робота виходу зменшується і стає рівною
|
′ |
|
1 |
|
e3ε |
|
|
A |
= A − 2 |
|
πε0 . |
(22.5) |
|||
|
|
||||||
112
Однак сили електростатичного зображення не в змозі пояснити холодну емісію. Дійсно, оцінка значення напруженості поля, при якому струм досягає
максимуму (із умови A′ = 0 ) дає, наприклад для вольфраму, значення
ε= |
4Aπ2ε |
0 ≈ 2 1010 B/м, |
(22.6) |
e3 |
в той час як на практиці досить сильний струм з'являється вже при ε≈108 В/м. Таким чином в межах класичної теорії неможливо кількісно описати яви-
ще холодної емісії.
В квантовій теорії електрон може проходити через бар'єр у випадку, коли його енергія Е менша за висоту бар'єра завдяки тунельному ефекту.
Для бар'єра довільної форми коефіцієнт прозорості для частинки маси m має вигляд
|
2 |
x2 |
|
(22.7) |
D = exp − |
|
2m ∫ |
U (x) − E dx . |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
Інтеграл в експоненті треба взяти в межах від х1 до х2 (див. рис.22.2), які можна визначити виходячи з умови
U (x) =U0 −exε− |
e2 |
= E . |
(22.8) |
|
16πε0 x |
||||
|
|
|
Розв'язуючи квадратне рівняння (22.8), отримаємо
|
U |
0 |
− E |
U |
0 |
− E |
2 |
e |
. |
||
x12 = |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||
|
2eε |
|
2eε |
16πε0ε |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Струм холодної емісії пропорціональний коефіцієнту прозорості
J = J0 D ,
де J 0 – величина, стала для даної речовини.
22.3 Опис комп’ютерної програми
Обчислення в даній роботі виконуються за програмою, що використовується також в роботі 17, в режимах „Произвольный барьер Вид 1” та „Произвольный барьер Вид 2”. Інтерфейс програми у першому із цих режимів зображено рисунку 22.4. В цьому режимі програма видає на екран графіки коефіцієн-
113
та проходження D відбивання R електрона бар’єра трикутної форми в залежності до висоти потенціального бар’єра U0 для різних значень напруженості зо-
внішнього електричного поля, створеного поблизу поверхні металу. У другому з вказаних режимів (рис.22.5) програма рисує аналогічні графіки з урахуванням додаткової сили, так званої “сили зображення”, яка змінює форму бар’єру. Для коефіцієнта прозорості для бар’єра будь-якої форми обчислення виконуються за наближеною формулою (22.7).
Рисунок 22.4 |
Рисунок 22.5 |
22.4. Інструкція користувачу
1.Ознайомитись із змістом “Help” (клавіша F1).
2.Для бар’єра трикутної форми (рис.22.2) отримати на екрані графіки за-
лежності D(E /U 0 ) , R(E /U 0 ) для семи значень напруженості поля ε (значення
U0 , ε, ε взяти з таблиці 22.1). Зарисувати графіки D(E /U 0 ) на одному рисунку; користуючись отриманими графіками D(E /U 0 ) побудувати залежності D(ε) при трьох значеннях відношення E /U0 (в межах E /U0 = 0,2...0,9 ).
3. Аналізуючи побудовані графіки, зробити висновки щодо залежності густини струму холодної емісії J від відношення E /U0 та напруженості зо-
внішнього поля ε.
4.Визначити, на яку величину зменшиться висота бар’єра (робота вихо-
ду) при врахуванні електростатичного зображення (за формулою (22.4) або (22.5)). Взяти ε за таблицею 22.1.
5.Для одного із значень ε отримати на екрані та зарисувати залежність D(E
U0 ) (на одному рисунку) для бар’єра трикутної форми та бар’єра з ураху-
ванням електростатичного зображення. Зробити висновки.
114
Таблиця 22.1 – Вихідні данні
№ |
ε·106, В/м |
Δε·106, В/м |
U0 , еВ |
1 |
4 |
2 |
2,5 |
2 |
5 |
2 |
2 |
3 |
106 |
3 |
1,5 |
4 |
4 |
10 |
4,5 |
5 |
8 |
2 |
4 |
6 |
4 |
3 |
5 |
7 |
6 |
2 |
3 |
8 |
3 |
3 |
4 |
9 |
2 |
3 |
5 |
10 |
2 |
10 |
2 |
11 |
10 |
10 |
5 |
12 |
5 |
2 |
1 |
22.5 Зміст звіту
Звіт повинен містити: мету роботи, ряд характеристик D(E /U 0 ), для се-
ми значень напруженості електричного поля ε, побудованих на одному рисунку (аналогічно для R(E /U 0 ) ); графік D(ε) побудований за графіками попе-
реднього пункту. Щоб отримати дані для побудови графіка D(ε) необхідно провести лінію на рисунку залежностей D(E /U 0 ) перпендикулярно осі E /U0 . Точки перетину її з залежностями D(E /U 0 ).
22.6 Контрольні запитання і завдання
1.Що означає термін „вільний електрон в металі”?
2.Що таке робота виходу електрона із металу?
3.Дайте визначення енергії Фермі.
4.Який вид має потенціальний бар’єр на межі метал-вакуум (при відсутності зовнішнього поля)?
5.Який вид приймає бар’єр на межі метал-вакуум внаслідок дії зовнішнього поля?
6.Як впливає на форму бар’єра поява „зображення” електрона, коли він покидає метал?
7.Що таке тунельний ефект?
8.Якою формулою визначається коефіцієнт прозорості для бар’єру довільного вигляду?
9.Якою формулою визначаються межі інтегрування в коефіцієнті прозо-
рості?
115
ДОДАТОК А
ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ.
А.1 Основні положення теорії похибок
Якими б точними не були прибори, досконалими методи вимірювань, при вимірюванні фізичної величини x (часу, довжини, тощо) неможливо отримати точне, “істинне значення” величини xicm .
Якщо позначити xi результат деякого і-того вимірювання величини x, то величину
xi = xi − xicm , |
(А.1) |
називають абсолютною похибкою даного вимірювання. Для характеристики точності вимірювання вводять також поняття відносної похибки
δ = |
x |
. |
(А.2) |
|
|||
|
x |
|
|
|
іст |
|
|
Завдання, яке стоїть перед теорією похибок, є визначення похибок вимірювання фізичних величин.
Вимірювання поділяються на прямі та непрямі. Прямим називають вимірювання, завдяки якому значення величини знаходять безпосередньо з показань прибору. Прикладами прямих вимірювань є: вимірювання температури за допомогою термометра; довжини штангенциркулем – тощо.
При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини знаходять завдяки відомій залежності цієї величини від величин, які можуть бути виміряні шляхом прямих вимірювань. Наприклад, густину тіла – за його масою та розмірами, тощо.
Найважливіший клас похибок – випадкові похибки. Ці похибки обумовлені недосконалістю наших органів чуття, а тому не можуть бути усунуті.
А.2 Розрахунок випадкових похибок для прямих вимірювань
Нехай, вимірюючи багато разів деяку фізичну величину, наприклад, час, за який тіло проходить одну і ту ж відстань S отримали ряд значень x1 , x2 , x3 ...
xn , тоді за xicm приймають середнє арифметичне
|
(x |
+ x |
2 |
+ x |
+... + x |
n |
) |
|
1 |
n |
|
|
|
< x >= |
1 |
|
3 |
|
|
= |
|
∑x |
i |
, |
(А.3) |
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n i =1 |
|
|
|||
яке при n → ∞ повинно співпадати з xicm .
116
Найважливіше завдання теорії похибок – знаходження інтервалу значень фізичної величини, в середині якого з деякою ймовірністю (яку називають довірчою ймовірністю) знаходиться величина
(< x > − x)< xicm < (< x > + x). |
(А.4) |
Цей інтервал значень величини x називають довірчим інтервалом. Якщо, наприклад, ми гарантуємо, що вимірюючи один раз величину x за даною методикою, отримаємо результат, який лежить в межах даного інтервалу (А.4) з імовірністю 95% , то довірча ймовірність Pдов буде дорівнювати Pдов = 0,95.
Для обґрунтування методу обчислення похибок треба встановити закон, якому підпорядковуються випадкові відхилення величини, яка вимірюється. Ми тільки вкажемо основну ідею, яка полягає в припущенні (що є виправданим): невеликі відхилення х від хіст є більш ймовірними ніж великі. На цій ідеї ба-
зується нормальний закон розподілу – закон Гауса. Але цей закон справедливий для великого числа вимірювань n.
В інженерній практиці базуються на розподілі Стьюдента. Для кожної довірчої ймовірності Р можна обчислити таке число tnP (коефіцієнт Стьюдента)
для якого випадкова величина x, що підпорядковується розподілу Стьюдента, буде знаходитися в межах
|
|
|
|
(< x > −tnPσ)< xicm < (< x > +tnPσ), |
|
(А.5) |
||||
|
де величина σ – середньоквадратичне відхилення результату вимірювань |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
>)2 |
|
|
(x − < x >)2 |
+ (x |
2 |
− < x >)2 +... + (x |
n |
− < x >)2 |
|
∑(xi − < x |
|
|
σ = |
1 |
|
|
|
= |
i=1 |
|
, (А.6) |
||
|
|
|
n(n −1) |
|
|
n(n −1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дe n – число вимірювань.
Таким чином x = tnPσ. Коефіцієнти Стьюдента для різного числа вимірювань приведено в таблиці А.1.
Таблиця А.1 – Залежність коефіцієнта Стьюдента від числа вимірювань
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
100 |
tnP |
12.7 |
4.3 |
3.2 |
2.8 |
2.0 |
2.0 |
117
А.3 Розрахунок випадкових похибок для непрямих вимірювань
При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини F визначається за формулою
|
|
|
F = F(x1, x2 ,...xn ), |
|
|
|
|
|
(А.7) |
||||||
де x1, x2 ,...xn – фізичні величини, які вимірюються прямо. |
|
||||||||||||||
Абсолютна похибка |
F |
непрямих вимірювань визначається за форму- |
|||||||||||||
лою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
2 |
|
∂F |
|
2 |
|
∂F |
2 |
|
||||
F = |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
(А.8) |
||||||
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|||||||||
∂x |
x1 |
+ |
2 |
|
+... + |
n |
xn , |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де ∂F – частинна похідна функції F за змінною x (при її обчисленні інші |
|||||||||||||||
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
– абсолютна похибка вимірюван- |
||||||
змінні вважаються сталими величинами); |
|||||||||||||||
ня величини xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат непрямого вимірювання (кінцевий результат у звіті) подається у вигляді
F =< F > ± F |
(А.9) |
де < F >= (< xi >,< x2 >,... < xn >) – значення функції F від середніх зна-
чень змінних < xi >,< x2 >,... < xn >.
Приклад. Обчислення випадкової похибки при розрахунку густини ρ
твердого тіла циліндричної форми. |
|
|
|
|
|
ρ = |
4m |
= |
4 |
md −2h−1, |
|
|
π |
||||
|
πd |
2h |
|
||
де m – маса тіла; d – діаметр циліндра; h – висота циліндра. В даному випадку ρ = ρ(m, d, h). Згідно з (А.8)
|
|
|
|
∂ρ |
|
2 |
∂ρ |
|
|
|
2 |
∂ρ |
|
2 |
|||||||
|
ρ = |
|
|
|
|
|
|
|
m |
+ |
|
∂d |
|
d |
+ |
h |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂m |
|
|
|
|
|
|
|
∂h |
|
|
|||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
∂ρ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
md −2h−1 |
= |
|
|
d −2h−1 |
; |
|
||||
|
∂m |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|||||||||||
|
|
∂m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂ρ |
= − |
|
8 |
|
md −3h−1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂d |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
118
∂∂ρh = − π4 md −2h−2
А.4 Правила заокруглювання результатів обчислень.
1.В результаті обчислень абсолютної похибки вимірювань фізичної величини треба залишати лише першу значущу цифру.
2.В середньому значенні величини остання значуща цифра повинна бути одного й того ж порядку, що й перша значуща цифра похибки.
Приклад. При обчисленні прискорення земного тяжіння g були отримані результати:
< g >=9,737 м/с2 ; |
g = 0,2364 м/с2. |
У відповідності з формулою (А.9) та правилами (1) і (2) відповідь має наступний вигляд:
< g >= (9,7 ± 0,2) м/с2.
119
ДОДАТОК Б
МОДИФІКОВАНИЙ АЛГОРИТМ ЕЙЛЕРА
Нехай r (t) , V (t) , a(t) – радіус-вектор, вектор швидкості та вектор прискорення в момент часу ta . F(t) – рівнодіюча сила, яка діє на матеріальну точ-
ку. Тоді рух матеріальної точки маси m можна описати за допомогою рівняння динаміки
ma(t) = F(x, y, z,t) |
(Б.1) |
Згідно з (Б.1) рух точки для моментів часу t >t0 визначено однозначно, якщо відомо початковий стан точки в момент часу t0 (початкове положення r (t0 ) та початкова швидкість V (t0 ) ). Розглянемо наближені кінематичні формули:
x(t + t) = x +Vx (t) t, |
Vx (t + |
t) =Vx (t) + ax (t) t, |
|
y(t + t) = y +Vy (t) t, |
Vy (t + t) =Vy (t) + ay (t) t, |
(Б.2) |
|
z(t + t) = z +Vz (t) t, |
Vz (t + |
t) =Vz (t) + az (t) t. |
|
З формул (Б.2) виходить, що положення та швидкість точки в момент часу (t + t) можна обчислити, якщо відомі її положення, швидкість та прискорення
в момент t, завданням початкового стану в момент t, а прискорення a(t) – з динамічного рівняння Ньютона (Б.1)
|
F |
x |
(x, y, z,t) |
|
Fy (x, y, z,t) |
|
F |
(x, y, z,t) |
|
ax (t) = |
|
|
, ay (t) = |
|
, az (t) = |
z |
|
. (Б.3) |
|
|
|
m |
m |
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, послідовно застосовуючи (Б.2) та (Б.3), можна визначити положення точки в будь-який момент часу.
Оскільки схема Ейлера має похибку обчислень ~ t , то для її зменшення застосовується модифікований метод Ейлера — коефіцієнти виразів (Б.2) (тобто значення швидкості та прискорення підставляються в момент часу, який від-
повідає середині інтервалу t , тобто в момент t + 2t . При цьому похибка роз-
рахунків за формулами (Б.2), (Б.4) має порядок t 2 . Така видозмінена схема називається модифікованим методом Ейлера.
120