курсовая
.docxМетод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Лагранжа.
Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.
[править] Описание
Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть
есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:
-
хотя бы один из коэффициентов aii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
-
все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:
, где
, а через обозначены все остальные слагаемые.
представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .
С ней поступают аналогичным образом и так далее.
Заметим, что
Второй случай заменой переменных сводится к первому
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = f(t)
Метод состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ... + cnzn(t)
соответствующего однородного уравнения
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = 0
на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
[править] Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
состоит в построении частного решения (1) в виде
где Z(t) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t0 имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица Z(t)Z − 1(τ) называется матрицей Коши оператора L = A(t).
Определение квадратичной формы
Квадратичная форма переменных - функция
- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда
Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.
Матричная запись квадратичной формы
Матрица
называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если
Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.
В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора
В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.
Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.
Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.
1. Ортогональное преобразование пространства :
где - собственные значения матрицы A.
2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если
Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем
3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):
Нормальный вид квадратичной формы
Для действительной квадратичной формы
где r = rank A.
Для комплексной квадратичной формы
r = rank A.
Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.
Классификация действительных квадратичных форм Положительно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).
Отрицательно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда
Положительно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.
Отрицательно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.
Неопределенные
Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.